Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 80
Se a equação de movimento de uma partícula for dada por
dizemos que a partícula está em movimento harmônico simples.
a) Encontre a velocidade da partícula no instante .
b) Quando a velocidade é zero?
Passo 1
Oi galerinha, simboraa
Para resolver este exercício, podemos usar a definição de movimento harmônico simples (MHS) e as propriedades das funções trigonométricas.
Para a letra a, temos que a velocidade da partícula é a derivada da equação de movimento em relação ao tempo. Dada a equação de movimento podemos derivar em relação ao tempo para encontrar a velocidade
Usaremos a regra da cadeia para derivar a função trigonométrica:
Essa é a expressão para a velocidade da partícula no instante t.
Para a letra b, devemos encontrar os instantes em que a velocidade é zero, igualamos a expressão da velocidade a zero e resolvemos para
A função seno é zero nos seus zeros principais, ou seja, quando . Isso ocorre nos pontos em que é igual a
Portanto, podemos resolver a equação etc., para encontrar os valores de nos quais a velocidade é zero.
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item(a).
A velocidade é a derivada da posição:
Passo 3
Agora vamos resolver o item (b).
Impondo que , temos que
Assim, obtemos que . Assim, temos que
, com
Assim, os instantes de tempo em que a velocidade se anula são
Uma outra forma de interpretar esse resultado é lembrar que o seno se anula quando o cosseno é máximo ou mínimo. Assim, a velocidade é nula nos pontos de amplitude máxima de movimento (posições máxima e mínima).
Resposta
a)
b)