Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 28
Derive f e encontre o domínio de f.
Passo 1
É mais complicado derivar raiz, ne?
Então podemos fazer algo para facilitar o calculo da nossa derivada, note que:
Assim, usando a regra da cadeia, podemos encontrar a sua derivada mais facilmente, fazendo que:
Onde a função e
Depois devemos encontrar o domínio de e para isso vale lembrar que temos uma raíz que não aceita valores negativos no seu interior.
Passo 2
Fazendo a regra da cadeia temos que:
A derivada de
Agora para encontrar a função de dentro, faremos uma substituição rapidinha pra ajudar:
Seja:
Ficamos com:
Agora basta derivarmos do jeito que sabemos, pela regrinha do tombo:
Voltando para a variável , temos que:
Passo 3
E seu domínio é o conjunto de valores de em que o argumento da raíz não é negativo, ou seja queremos que:
Aqui podemos elevar os dois lados pelo número de Euler.
Aplicar as propriedades da exponencial:
E temos que:
Logo,
De forma que:
Sendo assim, o domínio de é: