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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 23

Encontre a derivada da função usando a definição da derivada. Declare o domínio da função e o domínio de sua derivada.

f t = 2.5 t 2 + 6 t

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f t = 2.5 t 2 + 6 t

E nosso objetivo é obter sua derivada pela definição de derivada.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema temos que apenas aplicar a formulinha da derivada...

f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

Bora começar!

Passo 2

Beleza, a nossa função é:

f t = 2.5 t 2 + 6 t

Vamos obter f t + h para substituir em f ' t ...

Pra isso substituimos t por t + h em f t

f t = 2.5 t 2 + 6 t → f t + h = 2.5 t + h 2 + 6 t + h

f t + h = 2.5 t 2 + 2 t h + h 2 + 6 t + 6 h

f t + h = 2.5 t 2 + 5 t h + 2.5 h 2 + 6 t + 6 h

Substituindo em f ' t ...

f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 2.5 t 2 + 5 t h + 2.5 h 2 + 6 t + 6 h - 2.5 t 2 + 6 t h

Vamos simplificar o numerador

f ' t = lim h → 0 ⁡ 2.5 t 2 + 5 t h + 2.5 h 2 + 6 t + 6 h - 2.5 t 2 - 6 t h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 t h + 2.5 h 2 + 6 h h

Perceba que podemos colocar h em evidencia no numerador e cortar com o denominador.

f ' t = lim h → 0 ⁡ h 5 t + 2.5 h + 6 h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 t + 2.5 h + 6

Fazendo h → 0 , temos

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 t + 2.5 h + 6 = 5 t + 2.5 0 + 6

f ' t = 5 t + 6

Fácil né? E treinando vai ficando cada vez mais fácil.

Passo 3

Por fim, vamos checar o domínio dessa função e da derivada dela:

É só a gente ver que qualquer número real que entrar nas funções vai ter uma imagem real, então:

D o m f ' t = x ∈ R

Show? Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f ' t = 5 t + 6

D o m f ' t = x ∈ R

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Seja f x = x 3 + x 2 - 5 x .Estude o sinal de f ' x .Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(sec x)/(3 x + 2)
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual ax sen x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(x^3 + sqrt(x)) co s sec x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual acos x + (x^2 + 1) sen x