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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9r

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(x^3 + sqrt(x)) co s sec x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = x^3 + sqrt(x)

e

g (x) = cos s ec x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x^3 + sqrt(x))^' * cos s ec x + (co s sec x)^' * (x^3 + sqrt(x))

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(cossec (x))^' = - cossec (x) * cotg (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = (x^3 + sqrt(x))^' = (x^3 + x^((1)/(2)))^' = 3 x^(3 - 1) + (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = 3 x^2 + (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = 3 x^2 + (1)/(2 sqrt(x))

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g^' (x) = (cossec x)^' = - cossec (x) cotg (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x^3 + sqrt(x))^' * cossec x + (cossec x)^' * (x^3 + sqrt(x)) = (3 x^2 + (1)/(2 sqrt(x))) * cossec x + (- cossec (x) cotg (x)) * (x^3 + sqrt(x)) = (3 x^2 + (1)/(2 sqrt(x))) * cossec x - cossec (x) cotg (x) * (x^3 + sqrt(x))

Resposta

f^' (x) = (3 x^2 + (1)/(2 sqrt(x))) * cossec x - cossec (x) cotg (x) * (x^3 + sqrt(x))

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