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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 24

Encontre a derivada da função usando a definição da derivada. Declare o domínio da função e o domínio de sua derivada.

f x = 4 + 8 x - 5 x 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a derivada da função

f x = 4 + 8 x - 5 x 2

A partir da definição e tambem determinar o domínio tanto da função f quanto de f ' .

Lembra como fazemos isso?

A definição de derivada é dada pela formulinha

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Dessa forma, basta substituirmos f ( x + h ) e f x na formula e calcular o limite.

Já para esboçar o domínio, temos que analisar os valores que x pode assumir em cada caso para que as funções existam.

Bora lá!

Passo 2

Beleza, a nossa função é:

f x = 4 + 8 x - 5 x 2

Vamos começar encontrando f x + h pra isso vamos pegar a função f x e substituir x por x + h

f x = 4 + 8 x - 5 x 2 → f x + h = 4 + 8 x + h - 5 x + h 2

f x + h = 4 + 8 x + 8 h - 5 x 2 + 2 h x + h 2

f x + h = 4 + 8 x + 8 h - 5 x 2 - 10 h x - 5 h 2

Agora substituimos f x + h e f x em f ' x ...

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 + 8 x + 8 h - 5 x 2 - 10 h x - 5 h 2 - ( 4 + 8 x - 5 x 2 ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 + 8 x + 8 h - 5 x 2 - 10 h x - 5 h 2 - 4 - 8 x + 5 x 2 h

Simplificando o numerador, chegamos em

f ' x = lim h → 0 ⁡ 8 h - 10 h x - 5 h 2 h

Perceba que podemos colocar h em evidencia no numerador e cortar com o denominador.

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 8 - 10 x - 5 h h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 8 - 10 x - 5 h

Fazendo h = 0 no limite, chegamos finalmente em

f ' x = 8 - 10 x - 5 0

f ' x = 8 - 10 x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Por fim, vamos checar o domínio dessa função e da derivada dela:

f x = 4 + 8 x - 5 x 2

f ' x = 8 - 10 x

Perceba que f e f ' são polinômios e o domínio de qualquer polinômio x n para n ≥ 0 é o conjunto de todos os reais, já que x pode assumir qualquer valor para a função existir.

D o m f x = D o m f ' x = x ∈ R

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f ' x = 8 - 10 x

D o m f x = D o m f ' x = x ∈ R

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Seja f x = x 3 + 3 x 2 + 1 .Estude o sinal de f ' x .Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .
Calcule f^' (x) .f (x) = 4 + 5 x^2 ln x
Seja f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ 2 π .Estude o sinal de f ' x .Faça um esboço do gráfico de f .
Calcule f^' (x) .f (x) = x^2 e^x