Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 26

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos encontrar a derivada da função:

Usando a definição:

Pra isso vamos resolver esse limite e achamos a derivada.

Depois vamos dizer quais os domónios da função e da derivada.

Lembrando que domínio é todo valor que poderá assumir, sem quebrar a função (tipo não pode ter divisão sobre zero, números negativos dentro de raiz...).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular:

E daí podemos calcular a derivada:

Se tentarmos só substituir o valor de :

Isso é uma indeterminação. Não é uma resposta, então vamos fazer algumas manipulações pra resolver esse limite.

Ela parece meio complicada, né? Mas cê vai ver que não é nenhum bicho de sete cabeças...

Passo 3

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

Agora vamos fazer algumas manipulações, primeiro vamos separar o que tá sozinho no numerador

Como temos a diferença entre duas raízes quadradadas, o que sobrar vamos multiplicar pelo seu conjugado em cima e embaixo. Lembrando que o conjugado, nesse caso, é só trocar o sinal de menos pelo sinal de mais:

Pronto, chegamos em uma expressão mais simples, agora é só resolver aplicadando o valor que tende:

Então achamos a derivada:

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função tem domínio em , pois como temos uma raíz, não pode assumir valores negativo, o resto ta liberado.

Já com a derivada da função, , temos o domínio em , aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de , temos no denominador, o que nos impede do valor assumir .