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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 32

Ache a área da superfície do toro no Exercício 63 na seção 6.2

Passo 1

Temos que a parte superior do toro é formada girando a curva

x - R 2 + y 2 = r 2

Em torno do eixo y . Então, pra calcular esta área, vamos primeiro isolar y 2 na nossa equação a fim de encontrar o d s . Então

y 2 = r 2 - x - R 2

Diferenciando, ficamos com

2 y d y d x = - 2 ( x - R )

y d y d x = - x - R

d y d x = - x - R y

Agora, podemos calcular d s , temos que

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + x - R 2 y 2 d x = y 2 + x - R 2 y 2 d x = r 2 r 2 - x - R 2 d x = r r 2 - x - R 2   d x

Passo 2

Agora que já encontramos d s , podemos substituir pra encontrar a área

S = 2 ∫ R - r R + r 2 π x   d s = 4 π ∫ R - r R + r   r x r 2 - x - R 2   d x

Vamos dizer que u = x - R , diferenciando, temos que d u = d x . Substituindo, ficamos com

S = 4 π r ∫ - r r u + R r 2 - u 2 d u = 4 π r ∫ - r r u r 2 - u 2 d u + 4 π r ∫ - r r R r 2 - u 2 d u = 4 π r ⋅ 0 + 4 π r R ∫ - r r d u r 2 - u 2 = 8 π r R ∫ 0 r d u r 2 - u 2 = 8 π r R sin - 1 ⁡ u r 0 r = 8 π r R π 2 = 4 π 2 r R

Resposta

S = 4 π 2 r R

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