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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 45

Encontre a derivada da função.

y = cos ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função

y = cos ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x

E nosso objetido é encontrar sua derivada.

Parece dificil?

A primeira coisa que podemos perceber de y é que a função é composta, ou seja, tem uma função dentro de outra função nela...

Quando temos que derivar uma função composta aplicamos a regra da cadeia.

A regra da cadeia é definida como

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Ou seja, a derivada da dentro multiplicada pela derivada de fora...

Veja só!

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia na função temos que se y = cos ⁡ sem ⁡ tg ⁡ π x

y ' = d sen ⁡ tg ⁡ π x d x · d cos ⁡ f x d f

Perceba que sen ⁡ tg ⁡ π x ainda é uma função composta, logo temos que aplicar a regra da cadeia nesse termo novamente

y ' = d sen ⁡ tg ⁡ π x d x · d g x d g · d cos ⁡ f x d f

Mais uma vez caímos em uma derivada de uma função composta... dessa vez sen ⁡ tg ⁡ π x ...

Aplicando a regra da cadeia nesse termo, temos

y ' = d tg ⁡ π x d x · d sen ⁡ h x d h x · d g x d g x · d cos ⁡ f x d f x

Por ultimo, temos que aplicar a regra da cadeia tambem em tg ⁡ π x ...

y ' = d π x d x · d tg ⁡ p x d p x · d sen ⁡ h x d h x · d g x d g x · d cos ⁡ f x d f x

Deu um pouco de trabalho, né?

Agora é só calcular as derivadas e substituir...

Bora lá!

Passo 3

Perceba que nas derivadas, estamos tratando f x , g x , h x e p x como constantes e derivando em função delas!

Vamos derivar cada termo separadamente

Pelo teorema fundamental do calculo, temos

d tg ⁡ p x d p x = sec 2 ⁡ p x

d sen ⁡ h x d h x = cos ⁡ h x

d cos ⁡ f x d f x = - sin ⁡ f x

Já pela regra da potencia, vamos obter

d π x d x = π

d g x d g x = 1 2 g x

Substituindo tudo isso em y ' , temos

y ' = d π x d x · d tg ⁡ p x d p x · d sen ⁡ h x d h x · d g x d g x · d cos ⁡ f x d f x

y ' = π · sec 2 ⁡ p x · cos ⁡ h x · 1 2 g x · - sin ⁡ f x

y ' = - π · sec 2 ⁡ p x · cos ⁡ h x · 1 2 g x · sin ⁡ f x

Não podemos deixar o resultado em função de funções, então voltamos f x = sen ⁡ tg ⁡ π x , g x = sen ⁡ tg ⁡ π x , h x = tg ⁡ π x e p x = π x

y ' = - π · sec 2 ⁡ π x · cos ⁡ tg ⁡ π x · 1 2 sen ⁡ tg ⁡ π x · sin ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x

y ' = - π sec 2 ⁡ π x cos ⁡ tg ⁡ π x sin ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x 2 sen ⁡ tg ⁡ π x ·

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' = - π sec 2 ⁡ π x cos ⁡ tg ⁡ π x sin ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x 2 sen ⁡ tg ⁡ π x

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