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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 47

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado.

y = t g   4 x 2 ,     x = π

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra fazer a equação da reta tangente a gente vai precisar da derivada dessa função, certo?

Então é por aí que a gente vai começar...

A gente tem uma função composta, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Beleza?

Passo 2

Vamos derivar então por essa regrinha, sendo que aqui f = t g   x     e     g = 4 x 2   :

y ' = sec 2 ⁡ 4 x 2 ⋅ ( 4 x 2 ) '

Agora a gente deriva g :

y ' = sec 2 ⁡ 4 x 2   ( 8 x )

y ' = 8 x sec 2 ⁡ 4 x 2

Prontinho! Derivada encontrada!

Vamos continuar...

Passo 3

Agora vamos relembrar como é a equação da nossa reta tangente? É assim ó:

y - f a = f ' a ( x - a )

Onde a é o ponto pedido, no nosso caso a = π .

Vamos aplicar isso ali na fórmula então!

y - t g   4 π 2 = 8 π sec 2 ⁡ 4 π 2

Agora vamos desenvolver isso...

y - t g   4 π = 8 π sec 2 ⁡ 4 π   x - π

y - 0 = 8   π   1 x - π

y = 8 π   x - 8 π π

y = 8 π   x - 8 π

Prontinho! Essa é a equação da reta tangente ao gráfico em x = π 😉

Resposta

y = 8 π   x - 8 π

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