Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado.

y = x 1 - x 2 ,     x = 0

Passo 1

E aí, tudo joinha?

Pra fazer a equação da reta tangente a gente vai precisar da derivada dessa função, certo?

Então é por aí que a gente vai começar...

A gente tem uma função composta, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Beleza?

Nessa aqui a gente ainda tem um quociente, então vamos aplicar a regra do Quociente, ok?

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra do Quociente:

y ' = x ' 1 - x 2 - x 1 - x 2 ' 1 - x 2 2

Vamos fazer cada parte separada aqui:

x ' = 1

1 - x 2 ' = 1 2 1 - x 2 1 - x 2 '   =   - 2 x 2 1 - x 2 =   - x 1 - x 2

Prontinho, agora a gente monta a derivada total:

y ' = 1 1 - x 2 - x - x 1 - x 2 1 - x 2 2

y ' = 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 - x 2

Ufaa! Derivada encontrada! Vamos continuar...

Passo 3

Agora vamos relembrar como é a equação da nossa reta tangente? É assim ó:

y - f a = f ' a ( x - a )

Onde a é o ponto pedido, no nosso caso a = 1 .

Vamos achar esses termos que a gente precisa então:

f 0 = 0 1 - 0 2 = 0

f ' 0 = 1 - 0 2 + 0 2 1 - 0 2 1 - 0 2 = 1

E agora a gente monta a equação da reta:

y - 0 = 1 ( x - 0 )

y = x

Prontinho! Essa é a equação da reta tangente ao gráfico em x = 0 😊

Resposta

y = x

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