7 – 46 Encontre a derivada da função.

11. f(θ) = cos(θ^2)

Passo 1

Oiee, vamos resolver essa comigo?

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f θ = cos ⁡ θ 2 .

Isso significa que precisamos calcular a taxa de variação instantânea da função f em relação à variável θ em qualquer ponto θ do domínio da função.

A derivada nos dá essa informação, indicando como o valor da função muda à medida que θ muda infinitesimalmente.

Para isso, utilizamos a regra da cadeia, já que a função é uma composição de duas funções: uma função quadrática θ 2 e a função cosseno cos ⁡ ( θ ) .

Passo 2

A função interna é a seguinte:

u = g θ

u = θ 2

E a externa é:

f u = cos ⁡ u

A derivada de uma função composta:

y = f g θ

onde

g θ = u

vai ser igual a

f ' θ = d d u f u ⋅ d d θ g θ

Então a derivada da nossa função fica

f ' θ = d d u cos ⁡ u ⋅ d d θ θ 2

Passo 3

A derivada do cosseno é menos o seno:

f ' θ = - sen ⁡ u ⋅ 2 θ

Como

u = g x = θ 2

então a derivada é igual a

f ' θ = - 2 θ sen ⁡ θ 2

Resposta

f ' θ = - 2 θ sen ⁡ θ 2

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