7 – 46 Encontre a derivada da função.

25. g(u) = ( (u^3 - 1) / (u^3 + 1) )^8

Passo 1

Bora! A gente precisa encontrar a derivada da função:

g u = u 3 - 1 u 3 + 1 8

E para isso, iremos utilizar de duas regras para derivação. Como temos uma composição de função, deveremos utilizar a regra da cadeia, e por termos uma divisão de funções, deveremos utilizar a regra do quociente.

A derivada de uma função composta, f g x ,   onde, g x = u , vai ser igual a

f ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

A derivada de uma divisão de funções, u ( x ) , v ( x ) , é dada por:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

E é com essas regras que iremos resolver esse problema.

Passo 2

Aplicando a derivada na função, temos:

g ' u = d d u u 3 - 1 u 3 + 1 8

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

g u = F f u

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

g ' u = F ' f u ⋅ f ' u

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a potência:

F f u = f u 8

e sua derivada é:

F ' f u = 8 f u 7

Já a função de dentro, a interna, é

f u = u 3 - 1 u 3 + 1

para derivar esse termo precisamos da regra do quociente:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

f ' u = d d u u 3 - 1 ⋅ u 3 + 1 - d d u u 3 + 1 ⋅ ( u 3 - 1 ) u 3 + 1 2

Derivando os termos:

f ' u = 3 u 2 ⋅ u 3 + 1 - 3 u 2 ⋅ ( u 3 - 1 ) u 3 + 1 2

Colocando o 3 u 2 em evidência:

f ' u = 3 u 2 ⋅ u 3 + 1 - u 3 + 1 u 3 + 1 2

Simplificando o segundo termo:

f ' u = 3 u 2 ⋅ 2 u 3 + 1 2

f ' u = 6 u 2 u 3 + 1 2

Então a derivada da função fica:

g ' u = 8 f u 7 ⋅ 6 u 2 u 3 + 1 2

Como f u = u 3 - 1 u 3 + 1 :

g ' u = 8 u 3 - 1 u 3 + 1 7 ⋅ 6 u 2 u 3 + 1 2

Multiplicando:

g ' u = 48 u 2 u 3 - 1 7 u 3 + 1 9

Resposta

g ' u = 48 u 2 u 3 - 1 7 u 3 + 1 9

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