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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 56

Encontre f ' ( x ) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

f x = x   a r c t g   ( x 2 - x )

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos derivar a nossa função f ( x ) em relação a x e iremos traçar o gráfico da função e da sua derivada com o objetivo de verificar se a resposta está correta.

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar f ( x ) . Veja que f ( x ) é composta pelo produto de duas funções ( x   e   a r c t g   ( x 2 - x ) ) e que dentro da a r c t g há uma função de x . Dessa forma, deveremos utilizar a regra do produto de funções, que ocorre da seguinte maneira

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

E a regra da cadeia, onde após derivar a a r c t g deveremos derivar a função presente dentro da a r c t g e multiplicar a derivada pela derivada da raiz. Derivando f x temos

f ' x = a r c t g   x 2 - x 1 + x   1 1 + x 2 - x 2 2 x - 1

Veja que fora dos parênteses há a função que não está sendo derivada mas que deve ser multiplicada devido a regra do produto. Em 2 x - 1 , há a derivada que vem devido a regra da cadeia da a r c t g . Podemos simplificar a derivada, ficando com

f ' x = a r c t g   x 2 - x + 2 x 2 - x x 4 - 2 x 3 + x 2 + 1

Passo 3

Podemos esboçar o seguinte gráfico

Onde a função verde é f ( x ) e a função azul é f ' ( x ) .

Resposta

Podemos concluir que a resposta da derivada é razoável com base no gráfico feito. Podemos concluir isso pois quando f ' x = 0 , o gráfico de f ( x ) possui uma tangente horizontal. Além disso, quando f ( x ) está diminuindo, f ' ( x ) é negativa e quando f ( x ) está aumentando f ' ( x ) é positiva.

Ver Outros Exercícios desse livro

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Ache a derivada da função dada.g (x) = sqrt(1 + 4 x^2)
Ache a derivada da função dada.h (t) = 2 cos sqrt(t)
Ache a derivada da função dada.f (y) = 3 cos root(3)(2 y^2)
Ache a derivada da função dada.g (x) = sqrt(3 s e n x)
Ache a derivada da função dada.g (x) = root(3)(4 x^2 - 1)