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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 56

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

F θ = a r c s e n   s e n θ

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Bom, galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função F θ = a r c s e n   s e n θ em relação a θ .

Para isso, iremos utilizar a Regra da Cadeia para nos ajudar.

A regra da cadeia é usada quando temos funções compostas, como nesse caso

f g x ' = g ' x · f ' g x

Parece complicado? 😐

Passo 2

Iremos derivar em relação a x a seguinte função

F θ = a r c s e n   s e n θ

Veja que dentro do argumento do a r c s e n temos uma função. Dessa forma, deveremos utilizar a regra da cadeia após derivar o a r c s e n . Além disso, há outra função dentro da raiz. Assim, deveremos utilizar a regra da cadeia novamente.

Derivando a função, temos

F ' θ = d s e n θ d θ · d arcsin ⁡ u d u  

Novamente pela regra da cadeia para o termo d s e n θ d θ

F ' θ = d s e n θ d θ · d v d v · d arcsin ⁡ u d u

F ' θ = cos ⁡ θ · 1 2 v · 1 1 - u

Voltando u = s e n θ e v =   s e n θ

F ' θ = cos ⁡ θ · 1 2 s e n θ · 1 1 - s e n θ

F '   θ = 1 1 - s e n θ c o s θ 2 s e n θ

E aí! O que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

F '   θ = 1 1 - s e n θ c o s θ 2 s e n θ

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Ache a derivada da função dada.f (x) = 4 sec sqrt(x)
Ache a derivada da função dada.g (x) = root(3)((3 x^2 + 5 x - 1)^2)
Ache a derivada da função dada.f (y) = sqrt(1 + c o s s e c^2 y)
Calcule a derivada indicada.(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 5) * root(3)(x^2 + 3))
Calcule a derivada indicada.D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x)))