7 – 46 Encontre a derivada da função.

14. f(t) = t * sen(πt)

Passo 1

Oiee, vamos resolver essa comigo?

O enunciado solicita que encontremos a derivada da função f t = t sin ⁡ π t Uma derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente. Neste caso, queremos encontrar como a função f t está mudando instantaneamente à medida que o valor de (   t   )   muda.

Para encontrar a derivada de f ( t ) , usamos a regra do produto da diferenciação, que é uma das regras básicas do cálculo diferencial. Esta regra nos permite encontrar a derivada de uma função composta de duas outras funções multiplicadas entre si.

A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções u t   e     v t é dada pela derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, somada à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Então, para encontrar f ' t , primeiro identificamos u t =   t   e     v t =   s i n π   t . Em seguida, calculamos suas derivadas:   u ' t =   1   e   v ' ( t )   = π c o s ( π t ) .

Finalmente, aplicamos a regra do produto, substituindo essas derivadas na fórmula da derivada do produto. Isso nos dá a derivada de f ( t ) em relação a t , que representa a taxa de variação instantânea da função f ( t ) em relação a t .

Passo 2

Aplicando a derivada na função, temos:

f ' t = d d t t sin ⁡ π t

Perceba que tem um produto de duas funções, então devemos usar a regra do produto para conseguir resolver:

f ' t = d d t t ⋅ sin ⁡ π t + d d t sin ⁡ π t ⋅ t

A derivada do primeiro termo é de um polinômio:

f ' t = 1 ⋅ sin ⁡ π t + d d t sen ⁡ π t ⋅ t

Porém essa derivada que sobrou é de uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia para derivar o seguinte termo:  

d d t sen ⁡ π t

Passo 3

A função interna é a seguinte:

u = h t = π t

E a externa é:

g u = sen ⁡ u

A derivada de uma função composta:

g h t

onde

h t = u

vai ser igual a

g ' t = d d u g u ⋅ d d t h t

Então a derivada da nossa função fica

g ' t = d d u sen ⁡ u ⋅ d d t π t

A derivada do seno é o cosseno:

g ' t = cos ⁡ u ⋅ π

Como

u = h t = π t

então a derivada é igual a

g ' t = d d t sen ⁡ π t = π cos ⁡ π t

Substituindo isso na função

f ' t = sin ⁡ π t + π cos ⁡ π t ⋅ t

Resposta

f ' t = sin ⁡ π t + π cos ⁡ π t ⋅ t

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