Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 14
7 – 46 Encontre a derivada da função.
14.
Passo 1
Oiee, vamos resolver essa comigo?
O enunciado solicita que encontremos a derivada da função Uma derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente. Neste caso, queremos encontrar como a função está mudando instantaneamente à medida que o valor de muda.
Para encontrar a derivada de , usamos a regra do produto da diferenciação, que é uma das regras básicas do cálculo diferencial. Esta regra nos permite encontrar a derivada de uma função composta de duas outras funções multiplicadas entre si.
A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, somada à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.
Então, para encontrar , primeiro identificamos . Em seguida, calculamos suas derivadas:
Finalmente, aplicamos a regra do produto, substituindo essas derivadas na fórmula da derivada do produto. Isso nos dá a derivada de em relação a que representa a taxa de variação instantânea da função em relação a .
Passo 2
Aplicando a derivada na função, temos:
Perceba que tem um produto de duas funções, então devemos usar a regra do produto para conseguir resolver:
A derivada do primeiro termo é de um polinômio:
Porém essa derivada que sobrou é de uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia para derivar o seguinte termo:
Passo 3
A função interna é a seguinte:
E a externa é:
A derivada de uma função composta:
onde
vai ser igual a
Então a derivada da nossa função fica
A derivada do seno é o cosseno:
Como
então a derivada é igual a
Substituindo isso na função