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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 28

Encontre a derivada da função

28) y = (e^u - e^(- u))/(e^u + e^(- u))

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei lhe ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos resolver essa derivada. Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma divisão entre as funções. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra do Quociente! A regra do quociente é assim meu nobre amigo:

(𝑑)/(𝑑 𝑥) ((𝑢)/(𝑣)) = (𝑣 𝑢^' - 𝑢 𝑣^')/(𝑣^2)

Para começar vamos chamar:

f (u) = e^u - e^(- u)

g (u) = e^u + e^(- u)

Também vamos precisar das suas derivadas. Isso fica para o próximo passo.

Passo 2

Nós temos a função - 𝑢 no expoente, e neste caso usamos a Regra da Cadeia. Pois temos aqui uma função dentro de outra função.

A regra da cadeia funciona assim:

(𝑑 𝑦)/(𝑑 𝑥) = (𝑑 𝑦)/(𝑑 𝑧) ((𝑑 𝑧)/(𝑑 𝑥))

Para 𝑒^(- 𝑢) :

𝑦 = 𝑒^(- 𝑢)

(𝑑 𝑦)/(𝑑 𝑢) = (𝑑 (𝑒^(𝑧)))/(𝑑 𝑧) ((𝑑 (- 𝑢))/(𝑑 𝑢))

(𝑑 𝑦)/(𝑑 𝑢) = 𝑒^(- 𝑢) (- 1)

Passo 3

Agora com as derivadas em mãos:

f^' ( u ) = e^u + e^(- u)

g^' ( u ) = e^u - e^(- u)

Aplicando a Regra do Quociente:

y^' = ((e^u + e^(- u)) (e^u + e^(- u)) - ( e^u - e^(- u) ) ( e^u - e^(- u) ))/(( e^u + e^(- u) ) ²)

Organizando:

y^' = ((e^u + e^(- u)) ² - ( e^u - e^(- u) ) ²)/(( e^u + e^(- u) ) ²)

Realizando os produtos notáveis:

𝑦^' = ((𝑒^(2 𝑢) + 2 𝑒^(𝑢) 𝑒^(- 𝑢) + 𝑒^(- 2 𝑢)) - (𝑒^(2 𝑢) - 2 𝑒^(𝑢) 𝑒^(- 𝑢) + 𝑒^(- 2 𝑢)))/((𝑒^(𝑢) + 𝑢^(- 𝑢))^2)

Cancelando os termos de sinais opostos, temos:

𝑦^' = ((2 𝑒^(𝑢) 𝑒^(- 𝑢) + 2 𝑒^(𝑢) 𝑒^(- 𝑢)))/((𝑒^(𝑢) + 𝑢^(- 𝑢))^2)

Agora finalmente temos nosso resultado:

y^' = (4)/(( e^u + e^(- u) ) ²)

Resposta

y^' = (4)/(( e^u + e^(- u) ) ²)

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