Em cada item, indique as coordenadas x dos pontos de inflexão de f. Dê razões para suas escolhas.

(a) Esta curva é o gráfico de f.

(b) Esta curva é o gráfico de f ' .

(c) Esta curva é o gráfico de f ' ' .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá o seguinte gráfico de uma função:

A questão quer que indiquemos as coordenadas x dos pontos de inflexão se esse gráfico for de uma função f x , f ' x ou f ' ' x .

Bom... Algumas vezes na nossa vida chegamos a um ponto que sentimos que temos que mudar algo, né não? Na matemática também acontece. Assim é o ponto de inflexão, onde a concavidade se revolta e muda de direção hehe.

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando o gráfico de f :

O ponto de inflexão é em x = 3 pois a concavidade muda de baixo para cima.

E também em x = 5 , onde a concavidade muda de cima para baixo.

Passo 3

Para o gráfico de f ' , temos que a concavidade é para baixo se a primeira derivada for decrescente e a concavidade é para cima se a primeira derivada for crescente.

Dessa forma, os pontos onde há uma mudança de concavidade, ou seja, pontos de inflexão, são aqueles onde a primeira derivada chega nos seus pontos máximos ou mínimos, pois são neles que a curva deixa de ser crescente e passa a ser decrescente ou vice-versa.

Pelo gráfico vemos que esses pontos ocorrem em x = 2 ,   x = 6 (máximos) e em x = 4 (mínimo).

Passo 4

Para o gráfico de f ' ' , usamos o teste da Segunda Derivada.

Esse teste nos diz que se a segunda derivada for igual a zero e mudar de sinal em um ponto c .

f ' ' c = 0

Então c é um ponto de inflexão.

Isso ocorre pois o sinal da segunda derivada te indica se a concavidade é para cima ( f ' ' x < 0 ) ou para baixo ( f ' ' x > 0 ).

Olhando o gráfico vemos que isso ocorre em x = 1 e em x = 7 .

Você pode ter pensado também em x = 4 , afinal a segunda derivada vale zero nesse ponto. No entanto, ela não muda de sinal, ela toca no zero e volta a ser positiva depois, portanto, ali não é um ponto de inflexão.

Resposta

(a) x = 3 , pois a concavidade muda de baixo para cima. E também em x = 5 , onde a concavidade muda de cima para baixo.

(b) Para um valor de máximo temos x = 2 , x = 6 e em x = 4 , f ' ( x ) é um mínimo.

(c) Em x = 1 e em x = 7 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados