Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 96
Suponha que seja uma curva que está sempre acima do eixo e que não tenha tangente horizontal, em que é derivável em toda parte. Para quais valores de a taxa de variação de em relação a é vezes a taxa de variação de em relação a ?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado forneceu algumas informações sobre a a função e quer saber para quais valores de a taxa de variação de em relação a é vezes a taxa de variação de em relação a , ou seja, quais valores de satisfazem a relação:
Das informações dadas sobre , temos que a função é derivável em toda parte e não apresenta tangente horizontal, assim, não existe nenhum ponto tal . Podemos dizer então que para todo real.
Além disso, a curva está sempre acima do eixo de , de modo que para todo .
Sendo assim, para resolver o problema, vamos calcular a derivada de pela regra da cadeia e usar as informações obtidas sobre . Vamos lá!
Passo 2
Derivando temos que:
Assim, se , devemos ter
Além disso, como para todo real, podemos simplificar na equação, obtendo:
As soluções reais dessa equação são e . Por outro lado, temos que para todo real, de modo que não é uma solução válida. Assim, a única solução válida é .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉