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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 42

Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

π ∫ 0 π 2 [ 1 + c o s x 2 - 1 2 ]   d y

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá a seguinte integral:

π ∫ 0 π 2 [ 1 + c o s x 2 - 1 2 ]   d y

Essa integral representa o volume de um sólido. A gente precisa descrever essa integral, pra isso a gente usa a seguinte fórmula:

V x = ∫ x 1 x 2 �� r 2 d x

Passo 2

Podemos colocar a constante π pra dentro da integral:

∫ 0 π 2 π [ 1 + c o s x 2 - 1 2 ]   d y

dy descreve o volume do sólido obtido pela rotação da região.

r 2 = 1 + c o s x 2 - 1 2

r e x t e r n o   2 = 1 + c o s x 2

r i n t e r n o 2 = 1 2

Então temos que os intervalos são:

R = { ( x , y ) | 1 ≤ y ≤ 1 + c o s x , 0 ≤ x ≤ π 2 }

do plano xy em torno do eixo y.

Resposta

R = { ( x , y ) | 1 ≤ y ≤ 1 + c o s x , 0 �� x ≤ π 2 }

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Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região limitada por y = s e nx ,y = s e n 3 x ,x = 0 ,ex = π 2 .
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = - 2 , da região limitada por y = cos ⁡ x ,y = - 2 ,x = 0 ,ex = 2 π .
7. y = x 2,y = x 3
6. y = ln ⁡ x,y = - 1 ,y = 2ex = 0
9. y = 1 x,x = 0,y = 1 4ey = 4