Escreva a função composta na forma f g x . [Identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) .] Então encontre a derivada d y d x .

y = 1 - x 2 10

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pediu para gente escrever a função composta na forma f g x , identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) . E então encontrar a derivada d y d x .

Sendo a função dada por:

y = 1 - x 2 10

Dessa forma, faremos exatamente o que foi pedido.

Chamaremos

u = g x = 1 - x 2

Que é a função de dentro. E

y = f u = u 10

A derivada da função composta é dada pela regra da cadeia. Sendo:

d y d x = d d x f g x = f ' u ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.

Boa, agora basta irmos atrás de cada uma dessas partes para substituir na regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a função de fora. Sendo

y = f u = u 10

E sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente.

f ' u = d d u u 10 = 10 u 10 - 1

E teremos:

f ' u = 10 u 9

Maravilha.

Passo 3

Agora vamos derivar a função de dentro. Sendo

u = g x = 1 - x 2

Lembrando que a derivada de constante é igual a zero, e usando a regra do expoente, teremos:

g ' x = d d x 1 - x 2 = - 2 x

Agora basta substituir tudo na regra da cadeia.

Passo 4

Sendo:

d y d x = d d x f g x = f ' u ⋅ g ' x

d y d x = d d u u 10 ⋅ d d x 1 - x 2

d y d x = 10 u 9 ⋅ - 2 x

Como u = 1 + x 2 então:

d y d x = - 20 x 1 + x 2 9

E prontinho, temos nossa resposta.

Resposta

u = 1 - x 2 e y = u 10

d y d x = - 20 x 1 - x 2 9

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