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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 30

Encontre a derivada da função

30) F ( v ) = ((v)/(v^3 + 1))^6

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro de outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = (v)/(v^3 + 1)

E:

F (u) = u^6

Muito bem, já achamos u e F ( u ) . Agora precisamos achar (d F ( v ))/(d v) , mas como?

Bem fácil:

(d F ( v ))/(d v) = (d F ( v ))/(d u) . (d u)/(d v)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d v) . Então vamos derivar u com relação à v, mas aqui nós temos uma divisão de funções. O que fazemos então?

Usamos a Regra do Quociente! Basta chamarmos:

f (v) = v

g (v) = v^3 + 1

Derivando as funções:

f ' (v) = 1

g ' (v) = 3 v ²

Agora sim podemos achar (d u)/(d v) :

(d u)/(d v) = (1 (v^3 + 1) - v ( 3 v ² ))/(( v^3 + 1 ) ²) = (v^3 + 1 - 3 v ³)/(( v^3 + 1 ) ²)

Então:

(d u)/(d v) = (1 - 2 v ³)/(( v^3 + 1 ) ²)

Passo 3

Agora vamos derivar F(v) em função de u para achar (d F ( v ))/(d u) :

(d F ( v ))/(d u) = 6 u^5

Substituindo u:

(d F ( v ))/(d u) = 6 ((v)/(v^3 + 1))^5

Agora vamos colocar na derivada (d F ( v ))/(d v) do passo 1:

(d F ( v ))/(d v) = 6 ((v)/(v^3 + 1))^5 ((1 - 2 v^3)/((v^3 + 1)^2))

Resposta

F^' ( v ) = 6 ((v)/(v^3 + 1))^5 ((1 - 2 v^3)/((v^3 + 1)^2))

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Encontre f^' ( x ) :12.f (x) = sqrt(x^3 - 2 x + 5)
Encontre (d [f ( x )])/(d x) se (d f ( 3 x ))/(d x) = 6 x .
Encontre f^' ( x ) :15.f (x) = sin ((1)/(x^2))
Dado que f^' (x) = sqrt(3 x + 4) e g (x) = x^2 - 1 , encontre F^' ( x ) se F (x) = f ( g (x) ) .
Faça alguns esboços para ilustrar os resultados do Exercício 80 e escreva um parágrafo dando uma explicação informal sobre o porquê de os resultados serem verdadeiros.