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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 95

a) Se n for um inteiro positivo, demonstre que

d d x s e n n x cos ⁡ n x = n   s e n n - 1 x cos ⁡ n + 1 x

b) Encontre uma fórmula para a derivada de y = cos n ⁡ x cos ⁡ n x que seja similar àquela da parte (a).

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema temos que mostrar que se n for um numero inteiro e positivo, a igualdade é satisfeita

d d x s e n n x cos ⁡ n x = n   s e n n - 1 x cos ⁡ n + 1 x

Além disso queremos encontrar uma fórmula para a derivada de y = cos n ⁡ x cos ⁡ n x que seja parecida com a do item a).

Tem ideia de como fazemos isso?

Para derivar essas funções, temos que aplicar as regras do produto e da cadeia pois temos um produto entre duas funções ( s e n n x e cos ⁡ n x ) e ambas são funções compostas.

Primeiramente vamos definir essas regras...

A regra do produto é dada por

f = g · h ,     f ' = g ' · h + g · h '

Já a regra da cadeia é definida por

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar derivando a expressão s e n n x cos ⁡ n x obtemos

d d x s e n n x cos ⁡ n x = d d x s e n n x · cos ⁡ n x + s e n n x · d d x cos ⁡ n x

Aplicando a regra da cadeia nas derivadas fazendo u = s e n   x e v = n x ...

d d x s e n n x cos ⁡ n x = d d x s e n   x · d d u u n · cos ⁡ n x + s e n n x · d d x n x · d d v cos ⁡ v

Assim, derivando pelo teorema fundamental do calculo e pela regra da potencia, chegamos em

d d x s e n n x cos ⁡ n x = n   u n - 1 x cos ⁡ x cos ⁡ n x - n   s e n n x   s e n   v

Voltando u e v para funções de x ...

d d x s e n n x cos ⁡ n x = n   s e n n - 1 x cos ⁡ x cos ⁡ n x - n   s e n n x   s e n   n x

Colocando n   s e n n - 1 x em evidência, temos

d d x s e n n x cos ⁡ n x = n   s e n n - 1 x   cos ⁡ x cos ⁡ n x - s e n   x   s e n   n x

Vamos lembrar da fórmula do cosseno da soma: cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b . Assim, cos ⁡ x cos ⁡ n x - s e n   x   s e n   n x = cos ⁡ x + n x = cos ⁡ n + 1 x . Desta forma:

d d x s e n n x cos ⁡ n x = n   s e n n - 1 x cos ⁡ n + 1 x

Bacana, não é?

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para a outra função...

Consideremos a função y = cos n ⁡ x cos ⁡ n x , podemos derivar usando as regras de derivação:

Primeiro a regra do produto

y ' = d cos n ⁡ x d x · cos ⁡ n x + cos n ⁡ x · d cos ⁡ n x d x

Agora aplicamos a regra da cadeia para u = cos ⁡ x e v = n x

y ' = d cos ⁡ x d x · d u n d u · cos ⁡ n x + cos n ⁡ x · d n x d x · d cos ⁡ v d v

Portanto, pelo teorema fundamental do calculo e pela regra da potencia...

y ' = - s e n   x · n u n - 1 · cos ⁡ n x + cos n ⁡ x · n · ( - s e n   v )

Voltando u e v para funções de x ...

y ' = - n cos n - 1 ⁡ x   s e n   x cos ⁡ n x - n cos n ⁡ x   s e n   n x

Fatorando - n cos n - 1 ⁡ x em evidência:

y ' = - n cos n - 1 ⁡ x   ( s e n   x cos ⁡ n x + cos ⁡ x   s e n   n x )

Lembrando que s e n a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a , vemos que s e n   x cos ⁡ n x + cos ⁡ x   s e n   n x = s e n   x + n x = s e n   n + 1 x . Assim,

y ' = - n cos n - 1 ⁡ x   s e n �� n + 1 x

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a) Demonstração.

b) y ' = - n cos n - 1 ⁡ x   s e n   n + 1 x .

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