Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 70
Sejam e , onde , e
- Encontre e em termos de .
- Em termos de , encontre uma equação da reta tangente para o gráfico de no ponto onde .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a primeira e a segunda derivada da função , em termos de . E pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto , em termos de .
Para o primeiro item, vamos apenas derivar duas vezes, usando a regra da cadeia. E no segundo item, vamos derivar , substituir o ponto e aplicar na equação da reta:
Onde , e , nesse caso.
Vamos lá!
Passo 2
Bom, antes de tudo vamos derivar a função , já que nosso resultado depende dela. Usando a regra da cadeia, temos:
E vamos aproveitar e achar a derivada segunda:
Assim, para o ponto , vamos ter:
E lembrando que o enunciado nos deu:
Então, substituindo na nossa primeira derivada, vamos ter:
Da mesma forma, fazendo na segunda derivada, teremos:
E como o enunciado nos deu:
Ficamos com:
Terminamos a letra (a), bora para (b)!
Passo 3
A inclinação da reta tangente é obtida pela derivada da função, lembram?
Então precisamos derivar a função , e como há uma multiplicação, usamos a Regra do Produto para obter:
No ponto onde , temos:
Lembrando que de acordo com o enunciado:
Então, ficamos com:
Sendo assim, quando , temos o seguinte coeficiente angular da reta tangente:
Aí, para descobrir a equação da reta tangente, basta substituirmos tudo na equação que vimos no passo :
Quando , temos:
Então, nossa equação fica:
Reorganizando, isolando :
E encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉