Para quais valores de r a função y = e^(rx) satisfaz a equação y'' + 5y - 6 = 0 .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão deu pra gente a equação

y ' ' + 5 y - 6 = 0

E pediu pra gente dizer para quais valores de r a função y = e r x satisfaz essa equação.

Então a ideia aqui é derivar y achando y ' e y ' ' e assim, substituí-las na equação, e tentar entende quais são os valores de r que fazem com que isso tudo seja igual a zero.

Assim, diremos que estamos impondo alguma restrição sobre os valores de r que tornam a sentença verdadeira.

Passo 2

Nossa função é:

y = e r x

E queremos provar que

y ' ' + 5 y - 6 = 0

Então, vamos começar derivando y .

Perceba que ela é uma função composta, do tipo

y = e u

onde

u = r x

E sua derivada é dada pela regra da cadeia fazendo:

y ' = e u = e u ⋅ u '

Que nos dará:

y ' = e r x ⋅ r

Ou melhor:

y ' = r e r x

Passo 3

Vamos derivar novamente. Lembrando que r é uma constante e aplicando novamente a regra da cadeia, teremos:

y ' ' = r 2 e r x

Maravilha.

Passo 4

Vamos substituir y , y ' e y ' ' na equação:

y ' ' + 5 y - 6 = 0

E teremos:

r 2 e r x + 5 r e r x - 6 e r x = 0

Comolando e r x em evidência:

r 2 + 5 r - 6   e r x = 0

Como e r x ≠ 0 , para que a equação seja satisfeita para todo x , devemos ter

r 2 + 5 r - 6 = 0

Vamos procurar as raízes dessa equação de segundo grau.

Passo 5

Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara:

r = - 5 ± 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 6 ) 2 ⋅ 1

r = - 5 ± 7 2

Assim, temos r = - 6 ou r = 1 , e isso nós dá os valores específico de r .

Resposta

r = - 5 ou r = 1

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