Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 74
Para quais valores de a função satisfaz a equação .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão deu pra gente a equação
E pediu pra gente dizer para quais valores de a função satisfaz essa equação.
Então a ideia aqui é derivar achando e e assim, substituí-las na equação, e tentar entende quais são os valores de que fazem com que isso tudo seja igual a zero.
Assim, diremos que estamos impondo alguma restrição sobre os valores de que tornam a sentença verdadeira.
Passo 2
Nossa função é:
E queremos provar que
Então, vamos começar derivando .
Perceba que ela é uma função composta, do tipo
onde
E sua derivada é dada pela regra da cadeia fazendo:
Que nos dará:
Ou melhor:
Passo 3
Vamos derivar novamente. Lembrando que é uma constante e aplicando novamente a regra da cadeia, teremos:
Maravilha.
Passo 4
Vamos substituir , e na equação:
E teremos:
Comolando em evidência:
Como , para que a equação seja satisfeita para todo , devemos ter
Vamos procurar as raízes dessa equação de segundo grau.
Passo 5
Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara:
Assim, temos ou , e isso nós dá os valores específico de .
Resposta
ou