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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 34

7 – 46 Encontre a derivada da função.

34. U y = y 4 + 1 y 2 + 1 5

Passo 1

Fala aí, pessoal

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

U y = y 4 + 1 y 2 + 1 5

E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.

Podemos começar fazendo um pequeno ajusta em nossa função. Como temos uma divisão elevada a 5, vamos distribuir esse expoente em cima e embaixo. Assim, nossa derivação ficar mais fácil. Então

U y = y 4 + 1 5 y 2 + 1 5

Agora, no caso dessa função, temos uma divisão entre duas ouras função. Podemos pensar nelas como sendo:

u = y 4 + 1 5

e

v = y 2 + 1 5

Assim,

U y = u v

E para encontrar a derivada de funções desse tipo, podemos usar a regra do quociente. Assim, devemos fazer:

U ' y = u ' v - u v ' v 2

Mas perceba o seguinte, para aplicar a regra do quociente, precisaremos das funções u e v e de suas derivadas. E quando olhamos para a as funções u e v percebemos que temos uma função dentro da outra, já que temos um polinômio dentro dos parênteses e tudo isso elevado a um expoente. Quando isso acontece temos uma função composta.

u = f g r

E sua derivada será calculada pela regra da cadeia. Sendo:

u ' =   f g u ' = f ' g ⋅ g ' y

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Faremos isso, tanto para u quando para v , já que elas possuem as mesmas característivas

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te mostro tudinho!

Passo 2

Temos a função:

U y = y 4 + 1 5 y 2 + 1 5

Onde estamos olhando para

u = y 4 + 1 5

e

v = y 2 + 1 5

E sua derivada será

U ' y = u ' v - u v ' v 2

Assim, vamos atrás de cada um dos itens para substituir nessa fórmula.

Começando com

u = y 4 + 1 5

Aplicando a regra da cadeia, faremos

u = f g t = g 5

Com g = y 4 + 1

E g ' = 4 y 3

u ' = f ' g ⋅ g ' r

Assim,

u ' = 5 g 4 ⋅ g '

Então

u ' = 5 y 4 + 1 4 ⋅ 4 y 3

Que pode ser escrito como:

u ' = 20 y 3 y 4 + 1 4

Perfeito, agora faremos a mesma coisa para

v = y 2 + 1 5

Aqui:

v = f g r = g 5

Com g = y 2 + 1

E g ' = 2 y

v ' = f ' g ⋅ g ' r

Assim,

v ' = 5 g 4 ⋅ g '

Então

v ' = 5 y 2 + 1 4 ⋅ 2 y

Que pode ser escrito como:

v ' = 10 y y 2 + 1 4

Perfeito. Agora já temos tudo que precisávamos, basta substituir na regra do quociente.

Passo 3

Sabendo que

U y = y 4 + 1 5 y 2 + 1 5

U ' y = u ' v - u v ' v 2

Onde estamos olhando para

u = y 4 + 1 5

com

u ' = 20 y 3 y 4 + 1 4

e

v = y 2 + 1 5

Com

v ' = 10 y y 2 + 1 4

E sua derivada será

U ' y = 20 y 3 y 4 + 1 4 ⋅ y 2 + 1 5 - y 4 + 1 5 ⋅ 10 y y 2 + 1 4 y 2 + 1 5 2

Fazendo as multiplicações, teremos:

U ' y = 20 y 3 y 4 + 1 4 ⋅ y 2 + 1 5 - 10 y y 4 + 1 5 ⋅ y 2 + 1 4 y 2 + 1 10

Podemos tirar y 2 + 1 4 em evidência, dai conseguimos cortar em cima e em baixo:

U ' t = 20 y 3 y 4 + 1 4 ⋅ y 2 + 1 - 10 y y 4 + 1 5 y 2 + 1 4 y 2 + 1 10

Simplificando:

U ' t = 20 y 3 y 4 + 1 4 ⋅ y 2 + 1 - 10 y y 4 + 1 5 y 2 + 1 6

Podemos tirar o y 4 + 1 4 em evidência também:

U ' t = 20 y 3 ⋅ y 2 + 1 - 10 y y 4 + 1 y 4 + 1 4 y 2 + 1 6

Multiplicando quem está dentro dos colchetes, teremos:

U ' t = 20 y 5 + 20 y 3 - 10 y 5 - 10 y y 4 + 1 4 y 2 + 1 6

Reduzindo os termos semelhantes.

U ' t = 10 y 5 + 20 y 3 - 10 y y 4 + 1 4 y 2 + 1 6

Colocando o 5 em evidência e ajustando um pouco melhor, teremos:

U ' y = 5 y 4 + 1 4 2 y 5 + 4 y 3 - 2 y y 2 + 1 6

E prontinho. Temos nossa resposta.

Resposta

U ' y = 5 y 4 + 1 4 2 y 5 + 4 y 3 - 2 y y 2 + 1 6

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