Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 34
7 – 46 Encontre a derivada da função.
34.
Passo 1
Fala aí, pessoal
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função
E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.
Podemos começar fazendo um pequeno ajusta em nossa função. Como temos uma divisão elevada a 5, vamos distribuir esse expoente em cima e embaixo. Assim, nossa derivação ficar mais fácil. Então
Agora, no caso dessa função, temos uma divisão entre duas ouras função. Podemos pensar nelas como sendo:
e
Assim,
E para encontrar a derivada de funções desse tipo, podemos usar a regra do quociente. Assim, devemos fazer:
Mas perceba o seguinte, para aplicar a regra do quociente, precisaremos das funções e e de suas derivadas. E quando olhamos para a as funções e percebemos que temos uma função dentro da outra, já que temos um polinômio dentro dos parênteses e tudo isso elevado a um expoente. Quando isso acontece temos uma função composta.
E sua derivada será calculada pela regra da cadeia. Sendo:
Ou seja, fazemos a derivada da função de fora e multiplicamos pela derivada da função de dentro.
Faremos isso, tanto para quando para , já que elas possuem as mesmas característivas
Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te mostro tudinho!
Passo 2
Temos a função:
Onde estamos olhando para
e
E sua derivada será
Assim, vamos atrás de cada um dos itens para substituir nessa fórmula.
Começando com
Aplicando a regra da cadeia, faremos
Com
E
Assim,
Então
Que pode ser escrito como:
Perfeito, agora faremos a mesma coisa para
Aqui:
Com
E
Assim,
Então
Que pode ser escrito como:
Perfeito. Agora já temos tudo que precisávamos, basta substituir na regra do quociente.
Passo 3
Sabendo que
Onde estamos olhando para
com
e
Com
E sua derivada será
Fazendo as multiplicações, teremos:
Podemos tirar em evidência, dai conseguimos cortar em cima e em baixo:
Simplificando:
Podemos tirar o em evidência também:
Multiplicando quem está dentro dos colchetes, teremos:
Reduzindo os termos semelhantes.
Colocando o 5 em evidência e ajustando um pouco melhor, teremos:
E prontinho. Temos nossa resposta.