Derive a função

f(y) = y * ln(1 + e^y)

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certinho?

Bom, galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem em relação a y , da função:

f ( y ) = y l n l n   ( 1 + e y )  

Para isso precisamos identificar que tipo de função temos e assim escolher a regra de derivação mais adequada.

Repara que nossa função é composta por uma multiplicação entre duas outras funções. Uma delas é a função y e a outra é a função l n l n   ( 1 + e y )   . Então podemos pensar nessa função como:

f y = u ⋅ v

E a regra mais adequada para derivar essa função é a regra do produto. Assim:

f ' = u ' v + u v '

Outra coisa que deve chamar nossa atenção é que a função l n ⁡ ( 1 + e y ) é uma função composta.

E para derivar uma função composta, fazemos a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro. Assim:

v = f g y

v ' = f ' g ⋅ g ' y

Agora que já identificamos o que fazer, mas colocar a mão na massa e resolver essa derivada.

Passo 2

Nossa função é

f ( y ) = y l n l n   ( 1 + e y )  

E estamos olhando para ela como um produto de funções. Assim:

f y = u ⋅ v

Onde:

u = y

E

v = l n l n   1 + e y  

E a regra que usaremos para derivar essa função é a regra do produto. Assim:

f ' = u ' v + u v '

Ou seja, precisamos das funções u , v e suas derivadas. Perceba que se:

u = y

Sua derivada será dada pela regra do expoente x n ' = n x n - 1

u = y 1

u ' = 1 y 1 - 1

u ' = 1

Passo 3

Já para

v = l n l n   1 + e y  

Devemos usar a regra da cadeia.

v = f g y

v ' = f ' g ⋅ g ' y

Assim a função de fora é

f g = l n l n   g  

E

f ' g = 1 g

E a de dentro é

g y = 1 + e y

E sua derivada é

g ' y = e y

Então

v ' = 1 g ⋅ e y

Substituindo

g y = 1 + e y

Teremos:

v ' = 1 1 + e y ⋅ e y

Que pode ser escrito como:

v ' = e y 1 + e y

Agora vamos substituir todas as informações na regra do produto.

Passo 4

Sendo

f y = y l n l n   1 + e y  

f ' = u ' v + u v '

com

u = y

u ' = 1

v = l n l n   1 + e y  

v ' = e y 1 + e y

Sua derivada será:

f ' y = 1 ⋅ l n l n   1 + e y   + y ⋅ e y 1 + e y

E prontinho. Temos nossa resposta.

Resposta

f ' y = l n l n   ( 1 + e y )   + y e y 1 + e y

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