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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 42

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x ² . s e n h^(- 1) ( 2 x )

Passo 1

Muito bem, antes de começar precisamos identificar que temos duas funções sendo multiplicadas. E o que fazemos quando isso acontece?

Acertou quem disse a Regra do Produto!

Vamos relembrar:

f (x) . g (x)^' = f^' (x) . g (x) + f (x) . g ' ( x )

Vamos chamar:

g (x) = x ²

f (x) = s e n h^(- 1) ( 2 x )

A derivada da função que chamamos de g é fácil:

-> g^' (x) = 2 x

Já na função f temos uma função dentro da outra, então usamos a Regra da Cadeia, ok?

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Chamando:

u = 2 x

f (u) = s e n h^(- 1) ( u )

Derivando:

(d u)/(d x) = 2

Para funções trigonométricas a derivada é tabelada:

(d f ( x ))/(d u) = (1)/(sqrt(1 + u ²))

Substituindo u:

-> f ' ( x ) = (2)/(sqrt(1 + ( 2 x ) ²))

Agora que temos ambas as derivadas, vamos usar a Regra do Produto:

y^' = (2 x ²)/(sqrt(1 + 4 x^2)) + 2 x . s e n h^(- 1) ( 2 x )

Resposta

y^' = (2 x ²)/(sqrt(1 + 4 x^2)) + x ² s e n h^(- 1) ( 2 x )

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