Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x^2 \* senh^(-1)(2x)

Passo 1

Muito bem, antes de começar precisamos identificar que temos duas funções sendo multiplicadas. E o que fazemos quando isso acontece?

Acertou quem disse a Regra do Produto!

Vamos relembrar:

f x . g x ' = f ' x . g x + f x . g ' ( x )

Vamos chamar:

g x = x ²    

f x = s e n h - 1 ( 2 x )

A derivada da função que chamamos de g é fácil:

→       g ' x = 2 x

Já na função f temos uma função dentro da outra, então usamos a Regra da Cadeia, ok?

d f ( x ) d x = d f ( x ) d u . d u d x

Chamando:

u = 2 x

f u = s e n h - 1 ( u )

Derivando:

d u d x = 2

Para funções trigonométricas a derivada é tabelada:

d f ( x ) d u = 1 1 + u ²

Substituindo u:

→       f ' ( x ) = 2 1 + ( 2 x ) ²

Agora que temos ambas as derivadas, vamos usar a Regra do Produto:

y ' = 2 x ² 1 + 4 x 2 + 2 x . s e n h - 1 ( 2 x )

Resposta

y ' = 2 x ² 1 + 4 x 2 + x ² s e n h - 1 ( 2 x )

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