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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 61

Determine a derivada da função y = z s e c ^(- 1) z - sqrt(z ^2 - 1)

Passo 1

Devemos inicialmente aplicar a regra da multiplicação, pois temos duas funções dependentes de z. Somado a isso, o segundo termo a direita da igualdade apresenta uma função composta:

(d y)/(d z) = (d)/(d z) (z s e c ^(- 1) z - sqrt(z ^2 - 1)) = (d z)/(d z) * s e c ^(- 1) z + z * (d)/(d z) s e c ^(- 1) z - (d)/(d z) ( sqrt(z ^2 - 1) )

Passo 2

Ao aplicarmos a derivada, o primeiro termo a direita depois da igualdade dará como resultado um. O segundo dará uma regra da cadeia na função trigonométrica e o último também será aplicado uma regra da cadeia. O resultado das derivadas estão abaixo:

(d y)/(d z) = s e c ^(- 1) z + z (1)/(| z | sqrt(z - 1)) (d z)/(d z) - (1)/(2) ( z ^2 - 1 ) ^(1 // 2 - 1) (d)/(d z) (z ^2)

Passo 3

Derivando os termos no interior da regra da cadeia resultará em:

(d y)/(d z) = s e c ^(- 1) z + z (1)/(| z | sqrt(z ^2 - 1)) - (1)/(2) ( z ^2 - 1 ) ^(- 1 // 2) * 2 z

Resposta

Simplificando os termos semelhantes, e invertendo o termo com expoente negativo fracionário resultará em :

(d y)/(d z) = s e c ^(- 1) z + (1)/(sqrt(z ^2 - 1)) - (z)/(sqrt(z ^2 - 1))

Também podemos somar os dois últimos termos a direita da igualdade, resultando em:

(d y)/(d z) = s e c ^(- 1) z + (1 - z)/(sqrt(z ^2 - 1))

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