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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 1

Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x)

y = 6 u - 9

u = ((1)/(2)) x^4

Passo 1

Esta é uma boa questão inicial sobre regra da cadeia, visto que já nos foi dado as funções separadas, isto é, f ( u ) e g ( x ) . Desta forma, para obtermos a derivada da função composta ( f @ g ) ( x ) , podemos derivar separadamente cada uma das funções. Só depois de obtermos as duas derivadas, podemos fazer a composição de funções f^' (g (x)) e a sua multiplicação por g ' ( x ) . Vamos começar então pela obtenção de cada uma das derivadas!

Passo 2

Vamos determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y^' = f ' ( u ) = ( 6 u - 9 ) '

y^' = 6

Passo 3

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u^' = g^' (x) = [((1)/(2)) x^2]^'

g^' (x) = ((1)/(2)) [ x^4 ] '

g^' (x) = (1)/(2) * 4 x^3 = 2 x^3

Passo 4

Vamos fazer a composição de f^' (u) com g ( x ) , isto é, obter f^' (g (x)) . Para isto, observe que a função f ' ( u ) é uma função constante. Podemos visualizar ela da seguinte forma:

f^' (u) = 6 + 0 * h (u)

Desta forma, ao fazermos a composição, temos:

f^' (g ( x ) )) = 6 + 0 * h (g ( x )) = 6

Portanto,

f^' (g ( x ) )) = 6

Passo 5

O que nos falta é multiplicar f^' (g (x)) por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y // d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

(d y)/(d x) = 6 * 2 x^3 = 12 x^3

Resposta

(d y)/(d x) = 12 x^3

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