Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.11 - Ex. 36
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bora fazer essa questão!
O enunciado nos dá a função
E pede pra a gente encontra sua derivada esimplificar a resposta se possível.
Para isso vamos usar as regrinhas de derivação necessárias. Perceba que essa função é composta por duas outra funções que estão sendo multiplicadas. Sendo assim, para encontra sua derivada podemos usar a regra do produto.
Podemos pensar nessa função como sendo:
Onde
E
Assim, sua derivada será dada pela relação:
Agora vamos ver como derivar cada uma delas.
Passo 2
Para derivar essa função temos que aplicar a regra do produto. Sendo assim, precisamos das função , e de suas derivada.
Vamos então procurar essas derivadas para aplicar na relação da regra do produto.
Começando com:
Essa é uma daquelas funções trigonométricas que possuem derivadas tabeladas. Assim, podemos admitir seu valor como sendo :
Já para
Devemos lembrar que a derivada de uma constante é sempre igual a zero. E para o segundo termo, temos que usar a regra da cadeia, já que temos uma função dentro da outra. Vamos fazer ela separadinha depois a gente volta aqui. Beleza
Se chamarmos
e
de modo que
temos:
Substituindo
E simplificando,ficamos com:
Com isso temos
Show!
Passo 3
A regra do produto diz que
E fizemos:
Substituindo tudo, ficamos com
Fazendo a multiplicação dos termos, ficamos com:
Observe que o primeiro e o último termos são simétricos, sendo assim, podemos simplificar essa expressão, o que nos dará:
E prontinho, derivada calculada.