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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.11 - Ex. 34

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x cotgh ⁡ 1 + x 2  

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função:

y = x cotgh ⁡ 1 + x 2

E nosso objetivo é calcular sua derivada...

Parece complicado, né?

A primeira coisa que podemos perceber é que y é composta por um produto das funções x e cotgh ⁡ 1 + x 2 . Dessa forma, a princípio podemos aplicar a regra do produto para calcular a derivada de y .

y = f x · g x

y ' = f ' x · g x + f x · g ' x

Porém, uma dessas funções é uma função composta... ou seja, tem uma função dentro da outra. Nesse caso, quando formos calcular a derivada dessa função vamos aplicar a regra da cadeia...

g x = p q x

    g ' x = q ' x · p ' q x

Na derivada de fora, consideramos a função de dentro como uma variável...

Veja só!

Passo 2

Aplicando a regra do produto à nossa função vamos obter...

d y d x = d d x x cotgh ⁡ 1 + x 2 + x d d x cotgh ⁡ 1 + x 2

Aplicando a regra da cadeia na derivada de cotgh ⁡ 1 + x 2 , temos:

d y d x = ( 1 ) cotgh ⁡ ( 1 + x 2 ) + x d d 1 + x 2 [ cotgh ⁡ 1 + x 2 ] d d x 1 + x 2

Pelo teorema fundamental do calculo, temos que:

d cotgh ⁡ x d x = - cossech 2 ⁡ x

Aplicando em d y d x ...

d y d x = cotgh ⁡ 1 + x 2 + x - cossech 2 ⁡ 1 + x 2 2 x

d y d x = cotgh ⁡ ( 1 + x 2 ) - 2 x 2 cossech 2 ⁡ 1 + x 2

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' = cotgh ⁡ ( 1 + x 2 ) - 2 x 2 cossech 2 ⁡ 1 + x 2

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