(a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.

(b) Use um gráfico de f'' para uma estimativa melhor.

f(x) = x^3 * (x - 2)^4

Passo 1

Fala aí, tudo certinho como você?

Bom, essa questão dá pra gente a função:

f x = x 3 x - 2 4

E pede pra gente responder a dois itens.

No item (a) teremos que usar o gráfico de f para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.

E para responder a esse item, precisamos saber que o ponto de inflexão em um gráfico é o lugar onde a função muda o sentido de sua concavidade.

No item (b) devemos usar um gráfico de f ' ' para uma estimativa melhor.

E para isso devemos saber que se f ' ' é negativa, então f possui concavidade para baixo, se f ' ' é positiva, então f possui concavidade para cima e se f ' ' é nula, temos um ponto de inflexão.

Agora que já sabemos o que fazer, bora resolver essa questão juntinhos.

Passo 2

Item a:

Pelo gráfico de f :

Então a concavidade é voltada para baixo nos intervalos aproximados de

- ∞     ,   0 e 0.5   ,     1.3

E concavidade para cima em

0     ,     0.5 e 1.3       ,     ∞

Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em

0     ,     0 , 0.5     ,     0.6 , e 1.3     ,     0.6

Passo 3

Item b, teremos o gráfico de f ' ' .

Lembrando que

f x = x 3 x - 2 4

Teremos as derivas

f ' x = 3 x 2 x - 2 4 + 4 x 3 x - 2 3

E

f ' ' x = 6 x x - 2 4 + 24 x 2 x - 2 3 + 12 x 3 x - 2 2

E plotando seu gráfico, teremos:

Se

f ' ' < 0  

então f possui concavidade para baixo

se

f ' ' > 0

então f possui concavidade para cima

se

f ' ' = 0

temos um ponto de inflexão.

Assim, a concavidade é voltada para baixo nos intervalos aproximados de

- ∞     ,   0 e 0.453   ,     1.261

E concavidade para cima em

0     ,     0.453 e 1.261       ,     ∞

Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em

0     ,     0 , 0.453     ,     0.532 , e 1.261     ,     0.598

Resposta

(a) A concavidade é voltada para baixo nos intervalos aproximados de - ∞     ,   0 e 0.5   ,     1.3 . E concavidade para cima em 0     ,     0.5 e 1.3       ,     ∞ . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em 0     ,     0 , 0.5     ,     0.6 , e 1.3     ,     0.6 .

(b) Em valores mais exatos, a concavidade é voltada para baixo nos intervalos aproximados de - ∞     ,   0 e 0.453   ,     1.261 . E concavidade para cima em 0     ,     0.453 e 1.261       ,     ∞ . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em 0     ,     0 , 0.453     ,     0.532 , e 1.261     ,     0.598 .

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