(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f x = ln ⁡ x 4 + 27

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f x = ln ⁡ x 4 + 27

E teremos que dizer algumas coisas sobre ela.

No item (a) precisamos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

Para saber isso podemos usar as informações dadas pela derivada da função, pois ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da fun��ão. Assim, se

f ' x > 0

Significa que a função é crescente, já que a reta tangente tem derivada positiva. E se

f ' x < 0

A função é decrescente, já que a derivada é negativa.

No item (b), queremos encontrar os valores de máximo e mínimo locais.

Para isso também usamos a ideia dada pela inclinação da reta tangente. Ou seja, a derivada. Assim:

f ' x = 0

Teremos um ponto de máximo ou mínimo da função, já que a inclinação da reta tangente será nula.

No item (c) vamos encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

E aqui faremos uso da derivada segunda. Sabendo que se:

f ' ' x > 0

Nossa curva terá concavidade para baixo.

E se

f ' ' x < 0

E nossa curva terá concavidade para cima.

E finalmente, no item (d) vamos usar as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico de f .

Agora que já sabemos o que fazer em cada item, vem comigo que te mostro como vai ficar tudo isso.

Passo 2

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal.

Sendo

f x = ln ⁡ x 4 + 27

Como é uma função composta, usamos a regra da cadeia pra calcular sua derivada. Assim, fazemos

f ' x = ln ⁡ u ' = 1 u ⋅ u '

Onde

u = x 4 + 27

Aplicando a regra a derivada será:

f ' x = 4 x 3 x 4 + 27

Como x 4 + 27 é sempre maior que zero e 4 x 3 > 0 se x > 0 e 4 x 3 < 0 se x < 0 , então:

f é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , 0 e crescente no intervalo 0 , ∞ .

Passo 3

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

f ' x = 0

Fazendo:

4 x 3 x 4 + 27 = 0

O que só é verdade se:

x = 0

Como f decresce até x = 0 e cresce a partir dele, x = 0 é ponto de mínimo local.

Passo 4

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal.

Como a primeira derivada é:

f ' x = 4 x 3 x 4 + 27

A segunda será calculada usando a regra do quociente, já que essa função é formada pela divisão de outras duas funções.

Assim,

f ' x = u v

E

f ' ' x = u ' v - u v ' v 2

Onde

u = 4 x 3

Com

u ' = 12 x 2

E

v = x 4 + 27

Com

v ' = 4 x 3

E nossa derivada será:

f ' ' x = 4 - x 6 + 81 x 2 x 4 + 27 2

Assim, para

Para f ' ' x > 0

4 - x 6 + 81 x 2 x 4 + 27 2 > 0

- 3 < x < 3

Para f ' ' x < 0

4 - x 6 + 81 x 2 x 4 + 27 2 < 0

x < - 3   ou x > 3

Logo, f possui concavidade para cima para valores de x nos intervalos - 3,0 e 0,3 e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , - 3 e 3 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = - 3 e x = 3 .

Passo 5

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

E prontinho.

Resposta

(a) f é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , 0 e crescente no intervalo 0 , ∞ .

(b) x = 0 é ponto de mínimo local.

(c) f possui concavidade para cima para valores de x nos intervalos - 3,0 e 0,3 e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , - 3 e 3 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = - 3 e x = 3 .

(d)

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