Usando indução matemática, mostre que

(d^n)/(d(x^n)) ln x = ((-1)^(n-1) * (n-1)!)/(x^n)

Passo 1

Galera, estamos diante de um problema de indução matemática, não é um tipo de questão muito comum nos livros de cálculo. Mas para resolver, primeiro precisamos saber qual a finalidade da indução matemática e como resolver questões desse tipo.

Bom, a ciência utiliza esse método chamado de indução para formular leis que devem determinar fenômenos a partir de um grande número de observações particulares.

Então, seja a um inteiro dado. Vamos supor que para cada inteiro n ≥ a   está dada uma afirmação A ( n ) de tal forma que:

  • A ( a ) é verdadeira
  • Se para um inteiro k ≥ a . A ( k ) é verdadeira, então A ( k + 1 ) é verdadeira.

Sendo assim, a afirmação A ( n ) é verdadeira para doto inteiro n ≥ a

Passo 2

Sabendo disso, vamos entrar realizar a demonstração solicitada na questão. Beleza?

Primeiro note que:

d d x ln ⁡ x =   1 x

d n d x n ln ⁡ x = - 1 n - 1 n - 1 ! x n

d n + 1 d x n + 1 ln ⁡ x = - 1 n .   n ! x n + 1

Passo 3

Temos agora que verificar o passo base. Vamos verificar para n = 1 .

d d x ln ⁡ x =   1 x

Pela hipótese de indução temos:

d n d x n ln ⁡ x = - 1 n - 1 n - 1 ! x n

Nossa tese de indução é:

d n + 1 d x n + 1 ln ⁡ x = - 1 n .   n ! x n + 1

Passo 4

Agora, devemos verificar se a tese é satisfeita, fazendo isso, está provado o que foi solicitado:

Vamos reescrever:

d n d x n = - 1 n - 1 .   n - 1 ! x n

Derivando em ambos os lados:

d n d x n ' = - 1 n - 1 . n - 1 ! .   d d x x - n

d n + 1 d x n + 1 = - 1 n - 1 n - 1 ! - n .   x - n - 1

d n + 1 d x n + 1 = - 1 n - 1 - 1 n n - 1 ! .   1 x n + 1

d n + 1 d x n + 1 = - 1 n .   n ! x n + 1

Assim, provamos que é verdadeiro.

Resposta

Questão de demonstração, encontramos que a sentença realmente é verdadeira

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