Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 100
Usando indução matemática, mostre que
Passo 1
Galera, estamos diante de um problema de indução matemática, não é um tipo de questão muito comum nos livros de cálculo. Mas para resolver, primeiro precisamos saber qual a finalidade da indução matemática e como resolver questões desse tipo.
Bom, a ciência utiliza esse método chamado de indução para formular leis que devem determinar fenômenos a partir de um grande número de observações particulares.
Então, seja um inteiro dado. Vamos supor que para cada inteiro está dada uma afirmação de tal forma que:
- A é verdadeira
- Se para um inteiro . é verdadeira, então é verdadeira.
Sendo assim, a afirmação é verdadeira para doto inteiro
Passo 2
Sabendo disso, vamos entrar realizar a demonstração solicitada na questão. Beleza?
Primeiro note que:
Passo 3
Temos agora que verificar o passo base. Vamos verificar para .
Pela hipótese de indução temos:
Nossa tese de indução é:
Passo 4
Agora, devemos verificar se a tese é satisfeita, fazendo isso, está provado o que foi solicitado:
Vamos reescrever:
Derivando em ambos os lados:
Assim, provamos que é verdadeiro.
Resposta
Questão de demonstração, encontramos que a sentença realmente é verdadeira