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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 100

Usando indução matemática, mostre que

(d^n)/(d x^n) ln x = (- 1)^(n - 1) ((n - 1) !)/(x^n)

Passo 1

Galera, estamos diante de um problema de indução matemática, não é um tipo de questão muito comum nos livros de cálculo. Mas para resolver, primeiro precisamos saber qual a finalidade da indução matemática e como resolver questões desse tipo.

Bom, a ciência utiliza esse método chamado de indução para formular leis que devem determinar fenômenos a partir de um grande número de observações particulares.

Então, seja a um inteiro dado. Vamos supor que para cada inteiro n >= a está dada uma afirmação A ( n ) de tal forma que:

  • A ( a ) é verdadeira
  • Se para um inteiro k >= a . A ( k ) é verdadeira, então A ( k + 1 ) é verdadeira.

Sendo assim, a afirmação A ( n ) é verdadeira para doto inteiro n >= a

Passo 2

Sabendo disso, vamos entrar realizar a demonstração solicitada na questão. Beleza?

Primeiro note que:

(d)/(d x) ln x = (1)/(x)

(d^n)/(d x^n) ln x = (- 1)^(n - 1) ((n - 1) !)/(x^n)

(d^(n + 1))/(d x^(n + 1)) ln x = (- 1)^n . (n !)/(x^(n + 1))

Passo 3

Temos agora que verificar o passo base. Vamos verificar para n = 1 .

(d)/(d x) ln x = (1)/(x)

Pela hipótese de indução temos:

(d^n)/(d x^n) ln x = (- 1)^(n - 1) ((n - 1) !)/(x^n)

Nossa tese de indução é:

(d^(n + 1))/(d x^(n + 1)) ln x = (- 1)^n . (n !)/(x^(n + 1))

Passo 4

Agora, devemos verificar se a tese é satisfeita, fazendo isso, está provado o que foi solicitado:

Vamos reescrever:

(d^n)/(d x^n) = (- 1)^(n - 1 . ) ((n - 1) !)/(x^n)

Derivando em ambos os lados:

((d^n)/(d x^n))^' = (- 1)^(n - 1) . (n - 1) ! . (d)/(d x) x^(- n)

(d^(n + 1))/(d x^(n + 1)) = (- 1)^(n - 1) (n - 1) ! (- n) . x^(- n - 1)

(d^(n + 1))/(d x^(n + 1)) = (- 1)^(n - 1) (- 1) (n) (n - 1) ! . (1)/(x^(n + 1))

(d^(n + 1))/(d x^(n + 1)) = (- 1)^n . (n !)/(x^(n + 1))

Assim, provamos que é verdadeiro.

Resposta

Questão de demonstração, encontramos que a sentença realmente é verdadeira

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