Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.11 - Ex. 43
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, nessa questão precisamos derivar a função
E para fazer isso precisamos olhar para o tipo de função que temos, assim saberemos qual a melhor regra de derivação para esse caso.
E repare que nossa função é formada por dois termos. No primeiro temos:
Perceba que ele é formado por uma multiplicação entre duas funções, sendo a primeiro e a segunda . Como se trata de um produto entre funções, usaremos a regra do produto para derivá-la.
Já o segundo termos
Pode ser reescrito como
E temos uma função dentro da outra, sendo assim, usaremos a regra da cadeia para fazer sua derivação.
Agora que já temos uma ideia do que fazer, vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão.
Passo 2
Vamos começar derivando o primeiro termo da nossa função.
Para isso, faremos
E
Agora, usando a regra do produto, faremos:
Assim, precisamos de , e de suas derivadas.
Sendo
Sua derivada será:
Já para
Aqui devemos usar uma regra da cadeia, pois temos a função dentro do argumento de .
Assim, fazemos a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
A função de fora é uma daquelas funções trigonométricas que possuem derivada já tabelada. Assim:
Agora basta colocarmos na fórmula da regra do produto tudo que já temos até aqui.
Assim:
E organizando um pouco melhor, ficamos com:
Maravilha. Vamos olhar a derivada do outro termos agora.
Como se trata de um produto entre funções, usaremos a regra do produto para derivá-la.
Passo 3
Para derivar
Devemos usar a regra da cadeia, onde podemos pensar na função como sendo:
Com
E sua derivada será a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro. Assim:
Ajustante melhor e lembrando que , teremos:
Voltando para forma de raiz, temos:
Prontinho, já temos as duas derivadas, agora é só juntar tudo.
Passo 4
Assim, se
Sua derivada será:
E substituindo tudo que encontramos, ficamos com
Vamos melhorar um pouco a escrita dessa derivada. Podemos elevar o ao quadrado
E tirar o mmc dentro da raiz
E agora podemos tirar o de dentro da raiz.
E simplificando temos:
Repara que os dois últimos termos são simétricos e podem se cancelar. Com isso nossa derivada se resume a:
E prontinho. Ficou até bonita!!!