Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = 1 + sec(x), y = 3; e 'm' = 1

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as seguintes curvas

y = 1 + sec ⁡ x ,   y = 3

E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 1 da região delimitada pelas curvas acima! Depois disso temos que esboçar a região!

Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema. Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas! Temos uma função trigonométrica:

y = 1 + sec ⁡ x

E uma reta horizontal, y = 3 . Juntando as duas temos:

Os gráficos das funções trigonométricas tem um padrão e vão se repetindo ao longo do eixo x . Aqui a gente vai trabalhar com o intervalo ( - π , π ) , beleza?!

Esses pontos onde as curvas se interceptam são:

1 + sec ⁡ x = 3

sec ⁡ x = 2

sec - 1 ⁡ 3 = - π 3 e π 3  

Esses vão ser os nossos limites de integração!

Passo 2

Agora vamos a integração! Para um sólido que está entre x = a e x = b e possui área de seção transversal igual a A , seu volume V é dado por:

V = ∫ a b A x d x

A área de uma coroa circular é dada por:

A = π R 2 - r 2

Onde R é o raio maior e r é o raio menor, que são dados em relação a y = 1 . Vamos desenhar ela no gráfico pra ficar mais visível:

Assim, o raio maior é dado por:

R = 1 + sec ⁡ x - 1 = sec ⁡ x

E o raio menor é dado por:

r = 3 - 1 = 2

Passo 3

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral:

V = ∫ - π / 3 π / 3 π 2 2 - sec ⁡ x 2 d x

Vou trazer o gráfico pra pertinho de novo:

A área que a gente quer é essa verdinha. Perceba a simetria da figura! Com isso, a gente pode calcular a integral no intervalo 0 , π 3 e depois dobrar!!

Assim, resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 π 3 2 π 4 - sec 2 ⁡ x d x ∴

V = 2 π 4 x - tan ⁡ x 0 π 3 ∴

V = 2 π 4 π 3 - 3

Passo 4

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira:

Prontinho!

Resposta

V = 2 π 4 π 3 - 3

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Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.x = y^2 e x = 2 - y^2 ; ao redor do eixo dos y
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região limitada por y = sen x, y = sen^3 x, x = 0, e x = π/2.
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = -2 , da região limitada por y = cos(x), y = -2, x = 0, e x = 2*pi.
7. y = x^2, y = x^3
6. y = ln(x), y = -1, y = 2, e x = 0