Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 24
Encontre a primitiva de que satisfaça a condição dada. Verifique sua resposta comparando os gráficos de e
Passo 1
Fala aí! tudo certinho? 😇
Bom pessoal, nessa questão temos uma função:
E queremos encontrar a primitiva dessa função.
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada (ou primitiva) de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada do polinômio, da constante:
Nessa questão em específico vai nos ajudar relembrar a derivada do arcotangente:
Portanto a antiderivada de é:
Depois de encontrarmos , vamos usar a condição dada que é:
Para encontrar o valor da constante .
Por fim vamos colcoar o gráfico de e de lado a lado para verificar se de fato é a derivada de .
Passo 2
Iremos primeiramente reescrever da seguinte maneira
Para encontrar a primitiva de , iremos utilizar a regra da potência e a regra de derivação de funções trigonométricas, assim, temos
Para o primeiro termo temos:
E para o segundo termo temos:
Agora somando tudo com uma constante temos:
Derivando , temos
Como , então é a primitiva de .
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Substituindo a condição dada, temos
Então, temos que
Passo 4
Podemos assim gerar o gráfico de e
E aí! o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Podemos ver que é positiva e está crescendo em todos os valores possíveis.