Encontre a primitiva F de f que satisfaça a condição dada. Verifique sua resposta comparando os gráficos de f e F

f x = 4 - 3 1 + x 2 - 1 ,                                                       F 1 = 0

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😇

Bom pessoal, nessa questão temos uma função:

f x = 4 - 3 1 + x 2 - 1

E queremos encontrar a primitiva F x dessa função.

Para achar F vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada (ou primitiva) de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada do polinômio, da constante:

K = K x '

x n = x n + 1 n + 1 '

Nessa questão em específico vai nos ajudar relembrar a derivada do arcotangente:

tan - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Portanto a antiderivada de 1 1 + x 2 é:

1 1 + x 2 = tan - 1 ⁡ x '

Depois de encontrarmos F , vamos usar a condição dada que é:

F 1 = 0

Para encontrar o valor da constante C .

Por fim vamos colcoar o gráfico de f e de F lado a lado para verificar se de fato f é a derivada de F .

Passo 2

Iremos primeiramente reescrever f ( x ) da seguinte maneira

f x = 4 - 3 1 + x 2

Para encontrar a primitiva de f ( x ) , iremos utilizar a regra da potência e a regra de derivação de funções trigonométricas, assim, temos

f x = 4 - 3 1 + x 2

Para o primeiro termo temos:

4 = 4 x '

E para o segundo termo temos:

- 3 1 + x 2 = - 3 tan - 1 ⁡ x '

Agora somando tudo com uma constante temos:

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + C

Derivando F ( x ) , temos

F ' x = 4 - 3 1 + x 2

Como F ' x = f ( x ) , então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Substituindo a condição dada, temos

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + C

F 1 = 4 - 3 tan - 1 ⁡ ( 1 ) + C

0 = 4 - 3 π 4 + C

C = 3 π 4 - 4

Então, temos que

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + 3 π 4 - 4

Passo 4

Podemos assim gerar o gráfico de f ( x ) e F ( x )

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

F x = 4 x - 3 tan - 1 ⁡ x + 3 π 4 - 4

Podemos ver que f é positiva e F está crescendo em todos os valores possíveis.

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