Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 17
7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.
17.
Passo 1
Nessa questão temos a seguinte função:
E queremos encontrar
Sabemos, da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que se
Então
No entanto, a integral dada não está com os limites de integração da forma como o Teorema Fundamental do Cálculo pede.
Primeiro devemos alterar os limites de integração para colocar a parte que depende de no limite superior, para isso faremos:
Além disso, o limite de integração, ele não pode ser uma expressão como a que está la, deve ser uma variável sozinha. Quando temos uma função assim no limite, ao aplicarmos a regra da cadeia:
A nossa Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo fica sendo. Se temos:
Então,
Fazendo a diferenciação:
E pela regra da cadeia a gente pode escrever:
Dessa forma, vamos ter a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo da seguinte forma:
Sendo
Então,
Com tudo isso, a gente está pronto para resolver nossa questão!
Passo 2
O primeiro passo aqui vai ser inverter os limites da integral:
Vimos que o o Teorema Fundamental do Cálculo com uma função no limite de integração fica sendo:
Então:
Dessa forma, precisamos da derivada de
Reescrevendo:
Fazendo a diferenciação:
Então,
Passo 3
Dessa forma, temos:
Onde no nosso caso,
Portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, temos que:
Onde no nosso caso, temos:
e
Juntando tudo, temos:
Simplificando: