Mostre que f é contínua em (-infinito, infinito) .

f x = x 2 ,     x < 1 x ,     x ≥ 1

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é contínua em toda a reta real.

Todavia, existe uma particularidade: a função dada é definida por partes. Assim, temos que mostrar que as partes são contínuas e, além disso, que no ponto de colagem a função é contínua. Para isso, o limite deve coincidir com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que f é contínua para x ≠ 1 .

Para x > 1 , f x = x que é uma função contínua (função raiz) em seu domínio. O mesmo vale para x < 1 , onde f x = x 2 (polinômio).

Assim, para x ≠ 1 , f é uma uma função contínua.

Passo 3

Vamos verificar agora se f é contínua em x = 1 . Para isso, calculemos os limites laterais. Pela esquerda ( x < 1 ), f x = x 2 , de modo que

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x 2 = 1 2 = 1

À direita ( x > 1 ), f x = x , de modo que

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x = 1 = 1

Como os limites laterais são iguais, temos que o limite existe e vale 1:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 1

Além disso, para x = 1 , f 1 = 1 = 1 = lim x → 1 ⁡ f ( x ) . Assim, f é contínua em x = 1 . Desta forma, provamos que f é contínua em toda parte.

Resposta

Demonstração.

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