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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 23

Nos exercícios de 17 a 24, ache d y .

y = t g^2 (x) sec^2 x

Passo 1

Primeiramente, devemos simplificar essa expressão de modo que possamos trabalhar melhor. Lembre-se, da trigonometria:

sec^2 x = 1 + t g^2 (x) => t g^2 (x) = sec^2 x - 1

Do que temos:

y = (sec^2 x - 1) sec^2 x = sec^4 x - sec^2 x

Passo 2

Queremos usar o teorema 4.9 . 3 e, para isso, precisamos derivar y = f ( x ) .

Para simplificar nossas vidas, façamos sec (x) = u ( x ) .

Observe que temos expressões do tipo u^n ( x ) e precisamos derivá-las. Vamos então lançar mão da regra da cadeia, veja:

(d (u^n (x)))/(d x) = (d (u^n (x)))/(d (u (x))) * (d (u (x)))/(d x)

Mas veja que

(d (u^n (x)))/(d (u (x))) = (d (u^n))/(d u) = n u^(n - 1)

Precisamos agora derivar

u (x) = sec x = (1)/(c o s x)

Ou seja, usando a regra do quociente:

u^' (x) = ((1)/(c o s x))^' = (0 * c o s x - 1 * (- s e n x))/(cos^2 x) = (s e n x)/(cos^2 x)

Passo 3

Observe que na nossa função temos n = 4 e n = 2 :

f^' (x) = 4 u^3 (x) u^' (x) - 2 u (x) u^' (x) = 4 sec^3 x ((s e n x)/(cos^2 x)) - 2 sec x ((s e n x)/(cos^2 x)) = 2 sec^3 x s e n x (2 sec^2 x - 1)

Passo 4

Usando o teorema 4.9 . 3 , temos:

d y = 2 sec^3 x s e n x (2 sec^2 x - 1) d x

Resposta

d y = 2 sec^3 x s e n x (2 sec^2 x - 1) d x

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