14) Encontre a diferencial da função:

(a) y = e^(tg pi t)

(b) y = raiz(1 + ln(z))

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular a difercial das seguintes funções:

y = e t g π t

y = 1 + ln ⁡ z

A diferencial d y é definida da seguinte forma:

d y = f ' x   d x

Então para resolver esse problema precisamos derivar as nossas funções!

Passo 2

Começando por:

y = e t g ( π t )

Pra derivar y vamos usar a regra da cadeia duas vezes, primeiro fazendo:

d y d t = d u d t d y d u    

Escolhemos u :

u = t g π t

Só que u não é muito simples de derivar, então vamos usar a regra da cadeia pra calcular sua derivada!

v = π t

d v d t = π

Usando a regra da cadeia:

d u d t = d v d t d u d v  

Calculando d u / d v :

d u d v = d t g   v d t = sec 2 ⁡ v = sec 2 ⁡ π t

Substituindo na regra da cadeia:

d u d t = d v d t d u d v  

d u d t = π sec 2 ⁡ π t  

Agora que conhecemos d u / d t podemos voltar pra primeira regra da cadeia:

d y d t = d u d t d y d u    

Precisamos calcular d y / d u :

d y d u = d e u d u = e u = e t g π t  

Então temos:  

d y d t = π sec 2 ⁡ π t e t g π t  

Então:

d y = π sec 2 ⁡ π t e t g π t     d t

Passo 3

Para a letra b precisamos derivar a função:

y = 1 + ln ⁡ z

Aqui também vamos precisar da regra da cadeia! Vamos fazer:

d y d z = d u d z d y d u    

Tomando u como:

u = 1 + ln ⁡ z

Então:

d u d z = 1 z

d y d u = d u d u = 1 2 1 u = 1 2 1 + ln ⁡ z

Agora podemos calcular a derivada:

d y d z = 1 z   1 2 1 + ln ⁡ z  

Logo, a diferencial é:

d y = 1 2 z 1 + ln ⁡ z d z

Prontinho!!

Resposta

(a) d y = π e t 2 g π ( 2 t g + t 2 g ' t ) d t

(b) d y = 1 2 z 1 + ln ⁡ z d z

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