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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.10 - Ex. 14

14) Encontre a diferencial da função:

(a) y = e^(t g pi t)

(b) y = sqrt(1 + ln z)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular a difercial das seguintes funções:

y = e^(t g pi t)

y = sqrt(1 + ln z)

A diferencial d y é definida da seguinte forma:

d y = f^' (x) d x

Então para resolver esse problema precisamos derivar as nossas funções!

Passo 2

Começando por:

y = e^(t g ( pi t ))

Pra derivar y vamos usar a regra da cadeia duas vezes, primeiro fazendo:

(d y)/(d t) = (d u)/(d t) (d y)/(d u)

Escolhemos u :

u = t g (pi t)

Só que u não é muito simples de derivar, então vamos usar a regra da cadeia pra calcular sua derivada!

v = pi t

(d v)/(d t) = pi

Usando a regra da cadeia:

(d u)/(d t) = (d v)/(d t) (d u)/(d v)

Calculando d u // d v :

(d u)/(d v) = (d (t g v))/(d t) = sec^2 v = sec^2 pi t

Substituindo na regra da cadeia:

(d u)/(d t) = (d v)/(d t) (d u)/(d v)

(d u)/(d t) = pi sec^2 pi t

Agora que conhecemos d u // d t podemos voltar pra primeira regra da cadeia:

(d y)/(d t) = (d u)/(d t) (d y)/(d u)

Precisamos calcular d y // d u :

(d y)/(d u) = (d (e^u))/(d u) = e^u = e^(t g (pi t))

Então temos:

(d y)/(d t) = pi sec^2 (pi t) e^(t g (pi t))

Então:

d y = pi sec^2 (pi t) e^(t g (pi t)) d t

Passo 3

Para a letra b precisamos derivar a função:

y = sqrt(1 + ln z)

Aqui também vamos precisar da regra da cadeia! Vamos fazer:

(d y)/(d z) = (d u)/(d z) (d y)/(d u)

Tomando u como:

u = 1 + ln z

Então:

(d u)/(d z) = (1)/(z)

(d y)/(d u) = (d sqrt(u))/(d u) = (1)/(2) (1)/(sqrt(u)) = (1)/(2 sqrt(1 + ln z))

Agora podemos calcular a derivada:

(d y)/(d z) = (1)/(z) (1)/(2 sqrt(1 + ln z))

Logo, a diferencial é:

d y = (1)/(2 z sqrt(1 + ln z)) d z

Prontinho!!

Resposta

(a) d y = pi e^(t^2 g pi) ( 2 t g + t^2 g^' (t) ) d t

(b) d y = (1)/(2 z sqrt(1 + ln z)) d z

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