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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 61

Encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser inscrito na elipse x 4 2 + y 3 2 = 1 (Figura Ex- 61 ).

Passo 1

Vamos analisar os dados do enunciado, temos que o intervalo é 0,4 , onde o retângulo está delimitado, e temos que achar a área do retângulo:

A = 2 x ⋅ 2 y = 4 x y

Agora vamos pegar a expressão da elipse e isolar um dos termos:

x 4 2 + y 3 2 = 1 → y 3 2 = 1 - x 4 2 → y 2 9 = 1 - x 2 16 → y 2 = 9 - 9 x 2 16 → y = 9 - 9 x 2 16 →

→ y = 9 1 - x 2 16 → y = 3 1 - x 2 16

Passo 2

Vamos agora substituir o y na função da área:

A = 4 x y = 4 x ⋅ 3 1 - x 2 16 = 12 x 1 - x 2 16 = f x

Pronto, vamos derivar a expressão e igualar a zero para achar o valor máximo, vamos lá!!

f ' x = 12 x 1 - x 2 16 ' = 12 1 - x 2 16 + 12 x ⋅ 1 2 ⋅ 1 - x 2 16 1 2 - 1 0 - 2 x 16 =

= 12 1 - x 2 16 + 6 x ⋅ 1 - x 2 16 - 1 2 - x 8 = 12 1 - x 2 16 - 3 x 2 4 1 - x 2 16 = 48 1 - x 2 16 - 3 x 2 4 1 - x 2 16 =

= 48 - 3 x 2 - 3 x 2 4 1 - x 2 16 = 48 - 6 x 2 4 1 - x 2 16

Igualando a zero:

48 - 6 x 2 4 1 - x 2 16 = 0 → 48 - 6 x 2 = 0 → 6 x 2 = 48 → x 2 = 8 → x = 2 2

Passo 3

Temos então que o ponto crítico é 2 2 , temos que avaliar o f desse ponto junto com os pontos do intervalo 0 , 4 :

f 0 = 12 ⋅ 0 ⋅ 1 - 0 2 16 = 0

f 2 2 = 12 ⋅ 2 2 ⋅ 1 - 2 2 2 16 = 24

f 4 = 12 ⋅ 4 ⋅ 1 - 4 2 16 = 0

Pronto, temos que x = 2 2 é um máximo absoluto no intervalo, já que ele possui um valor positivo, assim as dimensões do retângulo com área máxima são:

2 x = 2 ⋅ 2 2 = 4 2

2 y = 2 ⋅ 3 1 - x 2 16 = 2 ⋅ 3 1 - 2 2 2 16 = 3 2

Resposta

2 x = 4 2 e 2 y = 3 2

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