Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 25
Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio .
Passo 1
Falai galerinha, tudo certo:
Como diria a Viúva Negra, “Ainda somos amigos, certo?”
Boraaa fazer essa comigo
A questão quer que encontremos as dimensões (comprimento e largura) do retângulo que possui a maior área possível, mas que esteja inscrito dentro de um círculo de raio
Quando dizemos que um retângulo está inscrito em um círculo, significa que todos os seus vértices tocam a circunferência do círculo.
Para resolver essa questão, precisamos usar algumas propriedades geométricas e cálculos de otimização. Vamos seguir a seguinte teoria:
Propriedades de um retângulo inscrito em um círculo:
- Se um retângulo está inscrito em um círculo, então a diagonal do retângulo for igual ao diâmetro do círculo.
- Diâmetro do círculo onde é o raio do círculo.
Relação entre as dimensões do retângulo e o diâmetro do círculo:
- Seja o comprimento e a largura do retângulo.
- Pela propriedade dos triângulos retângulos, temos que a diagonal do retângulo é dada por:
- Como podemos escrever:
Área do retângulo:
- A área do retângulo é dada por:
Objetivo:
- Queremos maximizar a área do retângulo, sujeito à restrição
Passo 2
Vamos usar as relações acima para encontrar uma forma de expressar a área em termos de e então encontrar as dimensões que maximizam essa área.
A restrição
pode ser reescrita como:
Queremos maximizar
Passo 3
Vamos resolver isso de maneira detalhada:
Expressar uma variável em termos da outra:
- A partir de
podemos expressar em termos de
Expressar a área em termos de :
- Substituímos na expressão da área:
- Agora, temos uma função da área em termos de
Passo 4
Encontrar o valor de que maximiza
- Para maximizar , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Passo 5
Calcular
Usando
- As dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio
- Portanto, o retângulo é na verdade um retangulo com lados de comprimento .
“Nós somos Groot”
Resposta
O retângulo inscrito no círculo que tem a maior área é um quadrado que possui lado igual a