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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 57

Seja:

f x = x 3

  1. Se a ≠ 0 , use a equação 2.7.5 para encontrar f ' ( a )
  2. Mostre que f ' ( 0 ) não existe
  3. Mostre que y = x 3 tem uma reta tangente vertical em (0,0). (Lembre-se da forma do gráfico de f . Veja a figura 13 na seção 1.2)

Passo 1

E aí! tudo certinho? Aqui temos a função:

f x = x 3

Aqui a gente precisa fazer algumas coisas:

  1. Calcular f ' a usando a equação 2.7 . 5 considerando que a ≠ 0 ;
  2. Provar que f ' ( 0 ) não existe;
  3. Provar que y = x 3 tem uma reta tangente vertical em 0,0 .

A equação 2.7 . 5 é dada por:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Pra provar que f ' ( 0 ) não existe a gente só precisa usar o f ' ( a ) que a gente vai encontrar na letra (b) , tentar substituir a = 0 e ver no que vai dar!

Finalmente a letra (c), o que que a gente faz?!

Quando a gente tem uma tangente vertical isso significa que a sua inclinação é igual a ∞ (pensa em uma reta vertical, percebe que essa seria a sua inclinação?). A gente já vai ter calculado f ' ( 0 ) no passo anterior, então só precisamos verificar a resposta!

Passo 2

Pela equação temos que:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Lembra que:

f x = x 3

f a = a 3

Então substituindo:

f ' a = lim x → a ⁡ x 3 - a 3 x - a

Podemos escrever assim também:

f ' a = lim x → a ⁡ x 1 3 - a 1 3 x - a

Se a gente substituir 0 aqui vamos ter uma divisão por zero, então a gente precisa manipular o limite pra fugir dessa indeterminação!

A gente pode fatorar x - a   como a diferença dos cubos:

x 3 - y 3 = x - y x 2 + x y + y 2

Nesse caso precisamos escrever x - a da seguinte forma:

x 1 3 3 - a 1 3 3

Assim temos:

x 1 3 3 - a 1 3 3 = x 1 3 - a 1 3 x 1 3 2 + x 1 3 a 1 3 + a 1 3 2

Assim:

x - a = x 1 3 - a 1 3 x 2 3 + x 1 3 a 1 3 + a 2 3

Substituindo:

lim x → a ⁡ x 1 3 - a 1 3 x - a = lim x → a ⁡ x 1 3 - a 1 3 x 1 3 - a 1 3 x 2 3 + x 1 3 a 1 3 + a 2 3

Podemos cortar:

lim x → a ⁡ x 1 3 - a 1 3 x - a = lim x → a ⁡ 1 x 2 3 + x 1 3 a 1 3 + a 2 3

Passo 3

Agora sim, podemos calcular o limite:

f ' a = lim x → a ⁡ 1 x 2 3 + x 1 3 a 1 3 + a 2 3

Assim:

f ' a = 1 a 2 3 + a 1 3 a 1 3 + a 2 3

Simplificando:

f ' a = 1 a 2 3 + a 2 3 + a 2 3

f ' a = 1 3 a 2 3

Tranquilo até aqui? Essa é a nossa letra (a)!

Passo 4

Agora precisamos provar que f ' ( 0 ) não existe. Substituindo a = 0 :

f ' a = 1 3 a 2 3

f ' 0 = 1 3 0 2 3 = 1 0

Temos uma divisão por zero, portanto f ' 0 não existe!

Passo 5

Finalmente a letra (c), temos que provar que y = x 3 tem uma reta tangente vertical em 0,0 .

Na letra (b) vimos que:

f ' 0 = 1 0

Se a gente tem uma divisão por zero e o numerador constante, isso significa que f ' ( 0 ) esta indo pro infinito. Graficamente isso significa uma tangente vertical!

Resposta

  1. f ' a = 1 3 a 2 3

  2. Demonstração;
  3. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 2 . g x = 5 ( x 4 + 3 x 7 )
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