Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 57
Seja:
- Se , use a equação 2.7.5 para encontrar
- Mostre que não existe
- Mostre que tem uma reta tangente vertical em (0,0). (Lembre-se da forma do gráfico de . Veja a figura 13 na seção 1.2)
Passo 1
E aí! tudo certinho? Aqui temos a função:
Aqui a gente precisa fazer algumas coisas:
- Calcular usando a equação considerando que ;
- Provar que não existe;
- Provar que tem uma reta tangente vertical em .
A equação é dada por:
Pra provar que não existe a gente só precisa usar o que a gente vai encontrar na letra (b) , tentar substituir e ver no que vai dar!
Finalmente a letra (c), o que que a gente faz?!
Quando a gente tem uma tangente vertical isso significa que a sua inclinação é igual a (pensa em uma reta vertical, percebe que essa seria a sua inclinação?). A gente já vai ter calculado no passo anterior, então só precisamos verificar a resposta!
Passo 2
Pela equação temos que:
Lembra que:
Então substituindo:
Podemos escrever assim também:
Se a gente substituir aqui vamos ter uma divisão por zero, então a gente precisa manipular o limite pra fugir dessa indeterminação!
A gente pode fatorar como a diferença dos cubos:
Nesse caso precisamos escrever da seguinte forma:
Assim temos:
Assim:
Substituindo:
Podemos cortar:
Passo 3
Agora sim, podemos calcular o limite:
Assim:
Simplificando:
Tranquilo até aqui? Essa é a nossa letra (a)!
Passo 4
Agora precisamos provar que não existe. Substituindo :
Temos uma divisão por zero, portanto não existe!
Passo 5
Finalmente a letra (c), temos que provar que tem uma reta tangente vertical em .
Na letra (b) vimos que:
Se a gente tem uma divisão por zero e o numerador constante, isso significa que esta indo pro infinito. Graficamente isso significa uma tangente vertical!
Resposta
- Demonstração;
- Demonstração.