Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 10
A taxa (em mg de carbono/m²/h) na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton é modelada pela função:
em que é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade de luz é máximo?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a intensidade máxima de luz , sabendo que ela é modelada pela função:
em que é a intensidade da luz (medida em milhares de velas).
Isso significa que vamos ter que encontrar o ponto máximo da nossa função. E esse ponto máximo é sempre um ponto crítico da função, lembra dele?
Os pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual à zero, ou a derivada não existe. Sendo assim, precisamos primeiro derivar nossa função, igualar esse resultado a zero e analisar os pontos obtidos pra descobrir os pontos de máximo.
Vamos lá!
Passo 2
A primeira coisa que temos que fazer é derivar nossa expressão em relação a . Sendo:
Perceba que essa função é formada pela divisão entre duas outras funções. Assim, sua derivada será feita usando a regra do quociente.
Onde:
Então
Estamos chamando
Assim, sua derivada será:
Já
E sua derivada será:
Aplicando na regra do quociente ficamos com:
Aplicando a distributiva nos produtos:
E simplificando, temos:
Passo 3
Como queremos encontrar a intensidade máxima de luz , vamos igualar a derivada a zero, para encontrar os pontos críticos:
Como o denominador não pode ser zero, temos:
E isolando :
Tirando a raiz, ficamos com:
Passo 4
Já sabemos que existem dois pontos críticos, e quando a derivada da função é zero. Agora precisamos saber se existe algum ponto cuja derivada não existe.
A nossa única possibilidade para a derivada não existir é um denominador igual a zero, concordam?
Vamos verificar se este ponto existe:
Usando Bhaskara, vamos ter:
Como a raiz é negativa não existe valor real para que proporcione um denominador negativo. Então voltamos a ter somente dois pontos críticos.
Passo 5
Agora pra saber qual ponto é de máximo e qual é de mínimo, vamos substitui-los na função. Assim, temos:
E
Portanto, é máximo quando a intensidade de luz vale .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉