Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 67
Determine se a função dada é diferenciável em um valor , sendo que está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é uma consequência do Teorema do Valor Médio. Teorema: Seja uma função contínua em e suponha que exista . Então é diferenciável em e .
Seja:
Determine se é diferenciável em . Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.
Passo 1
O primeiro passo é descobrir se a função é contínua em . Para isso, precisamos que:
Se isso acontecer, é contínua em .
Passo 2
Calculando o limite:
Onde:
Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Opa, os limites laterais coincidiram, então:
Passo 3
Para a função ser contínua em :
Como vimos:
Agora, olhando para a função:
Quando , a função vale obedece essa equação: . Então:
Muito bom! Dessa forma, é contínua em , já que:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o teorema do enunciado:
“Teorema: Seja uma função contínua em e suponha que exista . Então é diferenciável em e .”
Para saber se é diferenciável em , falta só que verificar se existe, pois já vimos que é contínua em .
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Se , então:
Calculando os limites laterais:
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Como os limites laterais não coincidiram, o limite não existe e, portanto, a função não é diferenciável em .
Resposta
A função não é diferenciável em .