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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 11

Nos Exercícios 11-18, determine o coeficiente angular do gráfico da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto.

f x = x 2 + 1 ,           2,5

Passo 1

Assim, para determinar o coeficiente angular da curva no ponto dado, vamos usar a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

A primeira coisa a ser feita é substituir a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ ( x + h ) 2 + 1 - x 2 + 1 h

m = lim h → 0 ⁡ ( x + h ) 2 + 1 - x 2 - 1 h

m = lim h → 0 ⁡ ( x + h ) 2 - x 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

m = lim h → 0 ⁡ ( x + h ) 2 - x 2 h = ( x + 0 ) 2 - x 2 0 = 0 0

Por isso a gente tem que fazer algumas manipulações para fugir desse problema viu? Vamos começar abrindo o termo x + h 2 , lembrando que a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 :

m = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 h x + h 2 - x 2 h

m = lim h → 0 ⁡ 2 h x + h 2 h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ 2 x + h = 2 x

Agora vamos substituir o valor de x dado:

m = 2 ∙ 2 = 4

Passo 4

Lembrando da equação da tangente

y - f a = m x - a

Agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 5 = 4 x - 2

Resposta

m = 4

y - 5 = 4 x - 2

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