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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 18

Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada.

r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar nessa resolução hoje.

Queremos encontrar uma equação cartesiana para a curva com equação.

r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

Isso é, queremos agora que nossa curva que tem relação de r e θ tenha relação de x e y .

Sabemos que a relação entre as coordenadas cartesiana e polar de uma figura é que

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

e também, que

r 2 = x 2 + y 2

Então iremos utilizar dessas relações para conseguirmos transformar essa curva para coordenadas cartesianas.

Passo 2

Bom, vamos pegar a equação r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ e multiplicar ambos os lados por r , pois assim teremos como trocar alguns termos:

r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

r 2 = 2 rsen ⁡ θ + 2 rcos ⁡ θ

Sabendo quem é r 2 e quem são os outros termos:

x 2 + y 2 = 2 y + 2 x

Agora vamos agrupar os termos de x e os de y :

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = 0

E agora podemos completar quadrado:

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 - 2 y + 1 - 1 = 0

x - 1 2 + y - 1 2 = 2

E aí está nossa equação! Este é um círculo de raio 2   e centro C = ( 1,1 )

Resposta

x - 1 2 + y - 1 2 = 2

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Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas. r ≥ 0 , π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4
Mostre que a curva polar r = 4 + 2 sec ⁡ θ (chamada conchoide) te a reta x = 2 como uma assíntota vertical mostrando que lim r →± ∞ ⁡ x = 2 . Use esse fato para ajudar a esboçar o conchoide.
18- Plote a parábola r = 5 2 + 2s e nθ e sua diretriz. Também plote a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de seu foco por um ângulo π / 6 .
14- a) Encontre a excentricidade b) identifique a cônica c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica. r = 5 2 - 2 s e nθ
17- a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 4 - 3 cos ⁡ θ e plote a cônica e sua diretriz.b) Se a cônica girar no sentido anti-horário ao redor da origem por um ângulo π / 3 , escrev