Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 39
Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
39. Elipse, focos , , vértices
Passo 1
Oiii, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.
Para isso, ele nos dá três condições:
- Trata-se de uma elipse;
- Possui focos em e ;
- Tem vértices em e .
Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma elipse:
- é o centro da elipse;
- e são seus focos;
- e são as extremidades do eixo horizontal (vértices);
- e são as extremidades do eixo vertical (vértices);
- é a distância entre e ;
- é a distância entre e ;
- é a distância entre e .
Também sabemos que a elipse tem a seguinte equação para quando está centrada na origem e possui vértices na horizontal:
Masss, pelo que nos foi dado no enunciado, sabemos que os focos e os vértices pertencem ao eixo .
Assim, portanto, a elipse será do seguinte tipo:
Passo 2
E como os vértices e os focos estão em coordenadas não simétricas entre si, significa que a elipse foi transladada.
Como sabemos que os vértices são equidistantes do centro, basta calcularmos a distância entre si e dividir por :
O centro então estará transladado para , a equação então ficará:
Passo 3
Pela definição dos vértices , sabemos que será:
Para obtermos , precisamos primeiro encontrar através da definição dos focos , c será:
Pela equação de :
Substituindo os valores de e , será:
Substituindo e na equação da elipse, teremos: