Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 43
Determine três números positivos cuja soma é e cujo o produto é máximo
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de valor máximo com derivadas parciais, vamos lá!
A questão descreve a seguinte situação pra gente:
Temos três números positivos cuja a soma é , de forma que podemos escrever o seguinte
E além disso, o produto entre os três é máximo, de forma que podemos escrever mais uma função
Ora, se o ponto que estamos procurando é um ponto de máximo na função , nós podemos procurá-lo da mesma forma que encontramos pontos críticos: Procurando valores de onde e são iguais a zero!
Então para isso nós vamos relacionar essas funções para modelar uma expressão de duas variáveis e encontrar e !
Passo 2
Nós precisamos de uma função de (para podermos extrair e que relacione as duas equações que temos. Para isso nós podemos fazer a seguinte manipulação
E se a gente substituir na função nós criamos uma função que relaciona as duas!
Com essa função a gente já pode encontrar as derivadas parciais e
Passo 3
Lembrando, queremos um ponto de onde
Então zerando a gente fica com
Que vai ser verdade para os valores de e !
Como zeraria o produto (e consequentemente não seria máximo), podemos descartar essa solução!
Dessa forma, zerando e substituindo o valor de que encontramos na primeira expressão
De novo, nós podemos descartar que zeraria o nosso produto, então a nossa solução será
Substituindo na expressão de
Substituindo e lá naquela expressão de que a gente encontrou no começo
Emtão o nosso ponto crítico é
Passo 4
A gente foi descartando os outros pontos críticos pois tínhamos um conceito (que a função produto tinha que ser máxima) para tal, mas idealmente a gente precisa testar se o ponto que encontramos realmente é um máximo!
Dessa forma, a gente vai precisar encontrar as variáveis de segunda ordem pra aplicar na seguinte fórmula
Onde se e então realmente nosso ponto vai ser um máximo, então vamos lá!
As derivadas de segunda ordem são:
No ponto
Assim substituindo em
e
Assim, realmente é um ponto de máximo!